WisFaq!

De rij ((-1)^n)/n!

geachte,

hoe kan ik bepalen of u_n={(-1)ⁿ}/n! convergent, divergent, geminoreerd, gemajoreerd is en wat het supremum (limiet) en infimum is.

Met vriendelijke groet

Marina Verschoren
30-3-2005

Antwoord

Hallo Marina,

Ik neem aan dat je het hier hebt over de RIJ (-1)¹/1! , (-1)²/2! , (-1)³/3! , ...
En niet over de REEKS (-1)¹/1! + (-1)²/2! + (-1)³/3! + ...

- Voor convergentie/divergentie ben je geinteresseerd in het gedrag van de reeks als je n naar oneindig laat gaan. Nu, die (-1)ⁿ zal er voor zorgen dat elke term een ander teken heeft dan de voorgaande, maar die 1/n! die wordt toch nul als n naar oneindig gaat. Dus lim u_n = 0, dus convergentie naar nul.

- Geminoreerd betekent dat je een ondergrens kan vinden, gemajoreerd betekent dat je een bovengrens kan vinden. Nu, schrijf eens de rij uit:
-1, 1/2, -1/6, 1/24, -1/120, 1/720, ...
Lijkt mij niet zo moeilijk om een reeel getal te vinden dat groter is dan (of gelijk aan) elk element uit deze rij he? En hetzelfde voor een reeel getal dat kleiner is dan (of gelijk aan) elk element uit deze rij.

- Het supremum is per definitie de kleinste bovengrens, en het infimum is gedefinieerd als de grootste ondergrens. Als je kijkt naar de eerste paar termen van deze rij moeten deze twee getallen wel te vinden zijn, niet?

NB ik heb de rij laten beginnen met de term voor n=1, het kan ook voor n=0. Dat zal een klein verschil geven voor wat betreft het supremum...

Groeten,
Christophe.

Christophe
31-3-2005