WisFaq!

Lichaamsisomorfisme

Hallo wisfaq,

Ik wil laten zien dat er geen lichaamsisomorfisme
Q(sqrt2)-Q(sqrt3) bestaat (Q de rationale getallen).

Ik weet dat er een isom f:F_5(sqrt2)-F_5(sqrt3) bestaat (F_5=Z/nZ, Z de gehele getallen).En dat a+bsqrt2-a+2bsqrt3 een expliciete keuze voor dit isom is.
f is een isomorfisme, dus 0-0, 1-1 en 2-2.Ik heb d op de volgende manier bepaalt: probeer sqrt2 naar dsqrt3 te sturen.Dan heb je enerzijds [f(sqrt2)]^2=2 en anderzijds
[f(sqrt2)]^2=3d^2.En hieruit volgt dat d=2.
Ik heb vervolgens volgens boven beschreven idee een isom g:Q(sqrt2)-Q(sqrt3) proberen te vinden:
0-0, 1-1, 2-2, sqrt2-dsqrt3.De vraag is nu of er nu een d in Q bestaat zodat 3d^2=2.Als 3d^2=2, dan is d=sqrt(2/3) en dit ligt niet in Q.Dus een isom Q(sqrt2)-Q(sqrt3)
bestaat niet.Is dit allemaal correct?

Groeten,
Viky

viky
13-3-2005

Antwoord

Hi,

Ja, dat lijkt mij correct. Merk op dat je in je geval F_5 ook d=3 had kunnen kiezen.

Alleen zeg je: d=Ö(2/3) Ï dus het isomorfisme bestaat niet.

Volgens mij moet dat zijn: "d=Ö(2/3) Ï (Ö3) dus het isomorfisme bestaat niet." Immers, je wil dat het beeld van Ö2 onder het isomorfisme f uitkomt in de beeldverzameling van f, en dat is (Ö3) en niet .

Groeten,
Christophe.

Christophe
14-3-2005