WisFaq!

Re: Re: Lichaamsuitbreidingen

Hoi Christohpe,

Bedankt voor de uitleg, fantastisch ik heb alles begrepen.Ik heb alleen nog een vraag over het minimum polynoom:
Dus ik had Q bevat in M=Q(i,sqrt2).De verzameling {1,i,sqrt2,isqrt2} is een basis van M over Q.Het minimumpolynoom voor a=1+i+sqrt2 is a^4-4a^3+4a^2+8=0.Dit had ik bepaald door machten van a te bepalen.Ik had ook het volgende kunnen doen:
Ik kwadrateer de gelijkheid a-1=i+sqrt2 en ik vind a^2-2a+1=1+2isqrt2, en nogmaals kwadrateren van a^2-2a=2isqrt2 geeft de gezochte relatie a^4-4a^3+4a^2+8=0.Alleen heb ik dit keer geen garantie dat deze relatie van minimale graad is.Ik moet dus apart nagaan of x^4-4x^3+4x^2+8 irreducibel is in Q[x].Nu weet ik dat (1/8)(x^4)f(2/x) Eisenstein bij 2 is in Z[x].Hoe kan ik hieruit concluderen dat f irreducibel is?

Veel groeten,
Viky

viky
15-2-2005

Antwoord

Hoi Viky,

Dat van dat tweemaal kwadrateren is inderdaad iets eenvoudiger om de minpol te vinden. Om te bewijzen dat er geen lageregraadspolynomen bestaan waaraan a voldoet, kan je:
ofwel de irreducibiliteit van f bewijzen over [x ],
ofwel uit het ongerijmde werken (stel dat er een derdegraads bestaat waarvoor ba³+ca²+da+e=0, reken dit uit en leg op die manieren voorwaarden op aan b,c,d,e, en er zal dan blijken dat ze allemaal nul moeten zijn)

Je kiest voor het eerste. Je kan het Eisensteincriterium (ik gebruik het in deze vorm) niet rechtstreeks op f toepassen omdat 2² een deler is van a₀=8. Als je kijkt naar x⁴/8 f(2/x) kom je inderdaad wel een polynoom in x uit die aan het criterium voldoet, namelijk
g(x)=x⁴+2x²-4x+2...

g(x) is dus zeker irreducibel. Stel nu dat f(x) reducibel was over , dus f(x) = a(x)b(x) met a en b allebei graad minstens 1. Stel even dat a en b allebei graad 2 hebben.
Dus f(2/x) = a(2/x)b(2/x)
En x⁴/8 f(2/x) = a(2/x)b(2/x) x⁴/8
= g(x) = [a(2/x) x²] [b(2/x) x²] /8 (*)
Dit is dus een ontbinding van g(x), terwijl g irreducibel was, dus hebben we de strijdigheid gevonden.

Ik heb wel de veronderstelling gemaakt dat a en b allebei graad 2 hebben, het kan natuurlijk ook zijn dat a graad 3 heeft en b graad 1, maar dan moet je gewoon de x⁴ anders opsplitsen in (*): dan zet je een factor x³ bij a(2/x) en een factor x bij b(2/x).

Conclusie: f is wel degelijk de minpol...

Christophe.

Christophe
15-2-2005