WisFaq!

Stelling van euler

zij f(x,y) een fct die homogeen is van de n-de graad. Toon aan dat n(n-1)f(x,y)=x² (2e partiële afgeleide van f naar x)+2xy(2e part afg van f naar x en y)+y²(2e part afg van f naar y)

Ik vermoed dat je bij deze oefening de stelling van euler zal moeten gebruiken, maar hoe moet het dan verder?

bedankt!

Steph
10-2-2005

Antwoord

Hallo,

Ik denk dat het gemakkelijkst als volgt gaat: probeer de stelling eerst te bewijzen voor een f die gewoon een monoom is van graad n in x en y.
Dus f = ax^my^n-m voor een 0mn.

Bereken de partiele afgeleiden naar x resp y van f:
a m x^m-1 y^n-m
en a (n-m) x^m y^n-m-1

Dan de tweedeordeafgeleiden: naar xx, naar xy en naar yy:
...

Reken dan het rechterlid uit, dus x²(2e part.afg. naar x) + ...
En je zal zien dat je op (n²-n)ax^my^n-m = n(n-1)f(x,y) uitkomt.

Op die manier heb je het gevraagde bewezen voor elke term van de n-de graad, maar het is duidelijk (wegens de lineariteit van de afgeleide: D(a+b)=D(a)+D(b)) dat het dan ook geldt voor een willekeurige homogene veelterm.

Groeten,
Christophe.

Christophe
10-2-2005