WisFaq!

Volkomen kwadraat

Hallo wisfaq,
Een nieuwe vraag;
Bewijs dat :

11....1122...225 een volkomen kwadraat is , wetende dat de groep (11...11) 1997 cijfers 1 bevat en de (22...22)
1998 cijfers 2 bevat.
Graag een antwoord waarvoor oprechte dank.
Groeten van Hendrik

hl
22-1-2005

Antwoord

Dag Hendrik,

het leukste is natuurlijk om achter de structuur van zo'n opgave te komen.
Die getallen 1997 en 1998 wijzen erop dat de opgave waarschijnlijk uit 1997 of 1998 stamt.
Mijn vermoeden is dat er nog wel meer getallen zullen zijn van de vorm: (aantal enen)(aantal+1 tweeen)5 of, als dit handiger is (aantal-1 enen)(aantal tweeen)5 die een volkomen kwadraat zullen zijn.
Wel, laten we de getallen k_n definieren als de getallen bestaande uit (n-1 enen)(n tweene)5.

We beginnen met k₁=25, dat is een kwadraat.
k₂=1225=35².
Vermoeden: alle k_n met n0 zijn een kwadraat.
Wat zou de structuur hierachter kunnen zijn?

Laten we k₃=112225 eens bekijken.
We nemen 9*k₃=10*k₃-k₃
1122250-112225=1.010.025=1.000.000+10.000+25=10⁶+10*10³+25=(10³+5)².

Nemen we nu eens k₁₀=11111111122222222225.
In onderstaand tabelletje reken ik 9*k₁₀ uit.

dus 9*k₁₀=10²⁰+10¹¹+25=10²⁰+10*10¹⁰+25=(10¹⁰+5)²
Omdat 9*k₁₀ een kwadraat is is k₁₀ dat dus ook.
Volgens mij is nu de structuur wel duidelijk:
9*k_n=(10ⁿ+5)², dus k_n is een kwadraat.

hk
23-1-2005