WisFaq!

Saccheri Vierhoek (euclidische en niet-euclidische meetkunde)

Ik heb met google het internet afgespeurd naar informatie over Saccheri Vierhoeken en heb een aantal dingen gevonden, maar iets is me nu niet helemaal duidelijk: heeft een Saccheri Vierhoek alleen 2 rechte hoeken (nml A en B) of kunnen ze ook allemaal recht zijn, zoals op deze site wordt gesuggereerd: http://homepages.cwi.nl/~jve/qed/Sacc.html

Ook moet Saccheri Vierhoeken in de Poincaré-schijf onderzoeken (niet-euclidische meetkunde). Ik loop op dat onderwerp vast. Wat zijn de voornaamste resultaten van een Saccheri Vierhoek in de Poincaré-schijf?

Hartenlijk bedankt!

S. Macdonald
18-1-2005

Antwoord

Saccheri onderzocht de 'absolute meetkunde', dat is de meetkunde die men kan opbouwen uitgaande van de axioma's van Euclides zonder het 'parallellenpostulaat'.
Saccheri gaat uit van een vierhoek ABCD met rechte hoeken in A en D, en AB=DC.
Hij bewijst dan dat de diagonalen BD en AC even lang zijn, en dat de hoeken in B en C aan elkaar gelijk zijn.
Zonder gebruik te maken van het parallellenpostulaat kan men echter niet bewijzen dat de hoeken in B en C recht zijn.
De absolute meetkunde kan worden uitgebreid in drie richtingen: naar de Euclidische meetkunde (door toevoeging van het parallellenpostulaat), naar de Elliptische meetkunde (door toevoeging van het 'elliptische' postulaat in plaats van het parallellenpostulaat), of naar de Hyperbolische meetkunde (door toevoeging van het 'hyperbolische' postulaat in plaats van het parallellenpostulaat).
In de Euclidische meetkunde zijn de hoeken in B en C recht. In de elliptische meetkunde zijn ze groter dan 90 graden. In de hyperbolische meetkunde zijn ze kleiner dan 90 graden.
De Poincaréschijf is een model van hyperbolische meetkunde. Daar zijn de hoeken in B en C dus kleiner dan 90 graden.

hr
18-1-2005