WisFaq!

Convergentie stochastische matrix

Ik zit met een probleem:
Ik heb een stochastische matrix die met een vector vermenigvuldigd wordt. Nu moet ik bewijzen dat als we deze matrix blijven vermenigvuldigen met zichzelf en dan met de vector dit convergeert. Bij voorbeeld de matrix
0 0,25
1 0,75

en de vector (1/2,1/2)
alvast bedankt als iemand me hierbij zou kunnen helpen

wim casteels
9-12-2004

Antwoord

Wim,
de matrix noem ik A en een vector geef ik aan met x.de vector x is een kolomvector .hier is x=(1/2,1/2).
stap1:bepaal de eigenwaarden van A en de bijbehorende eigenvectoren.l=1 is eigenwaardemet eigenvector
x(1)=(1,4) en l=-¹/₄ met eigenvector x(2)=(1,-1).
stap 2:schrijf x=(1/2,1/2)als een lineaire combinatie van de eigenvectoren.
x=(1/5)x(1)+(3/10)x(2).
Omdat x(1) eigenvector is , is Ax(1)=x(1)en Ax(2)=(-¹/₄)x(2).
dus Ax=(1/5)Ax(1)+(3/10)Ax(2)=(1/5)x(1)+ (3/10)(-¹/₄)x(2) en

A²x= (1/5)x(1)+(3/10)(-¹/₄)²x(2). zo voortgaande ,zeg n-mmal geeft
A^n x=(1/5)x(1)+(3/10)(-¹/₄)^n x(2).
Als n gaat naar oneindig ,dan gaat (-1/4)^n naar nul,zodat
A^n x convergeert naar de vector (1/5,4/5).
Hopelijk is het zo duidelijk.

kn
10-12-2004