WisFaq!

Bewijs met de driehoek van Pascal

Hai Wisfaq,

Ik moet de volgende stelling bewijzen mbv de driehoek van Pascal.

Bewijs dat voor alle m,n $\in\mathbf{N}$ met m$\leq$n geldt:



Heb geen idee hoe hieraan te beginnen.........

Groetjes Fleur

Fleur
27-11-2004

Antwoord

Hoi Fleur,

(Nieuw antwoord toegevoegd onderaan de vraag...)

Ik heb een bewijsje gevonden dat steunt op het binomium van Newton. Als je perse een antwoord wil dat steunt op de driehoek van Pascal, dan reageer je maar op dit antwoord, dan wordt er wel verder gezocht...

Newton: (x+y)ⁿ = $\sum$C(n,k) x^ky^n-k
(som loopt voor k van 0 tot n).

Dus ook:
(x+y)²ⁿ = $\sum$C(2n,k) x^ky^2n-k
(som loopt voor k van 0 tot 2n).

Maar (x+y)²ⁿ = ((x+y)ⁿ)²
= ($\sum$C(n,k) x^ky^n-k)²

Vergelijk nu eens de term in xⁿyⁿ voor beide uitdrukkingen voor (x+y)²ⁿ. In de eerste uitdrukking is de coëfficiënt die daarbij hoort C(2n,n). In de tweede uitdrukking is de coëfficiënt die daarbij hoort:
C(n,0)C(n,n) + C(n,1)C(n,n-1) + ... + C(n,n)C(n,0)
= C(n,0)² + C(n,1)² + ... + C(n,n)²
= $\sum$(C(n,k)²) (k van 0 tot n).

Medebeantwoorder kn stuurde me ook volgende oplossing door, waarvoor dank:

'Uit een vaas die n witte en n zwarte ballen bevat, worden er aselect zonder teruglegging n getrokken.De kans dat de
trekking k witte en n-k zwarte bevat is
C(n,k)C(n,n-k)/C(2n,n).
Daar C(n,n-k)=C(n,k) geeft sommeren over k (van 0 tot n) het resultaat.'

En vermits de som van al die kansen natuurlijk 1 moet zijn, is het bewijs dan ook geleverd.

Groeten,
Christophe.

Christophe
27-11-2004