WisFaq!

Gonio en nulpunten bij complexe getallen

Hey ,
Ik moet complexe getallen zelfstandig bestuderen maar
sommige dingen begrijp ik nog niet zo goed.

1. De goniometrische vorm

gegeven : a = rcosa b= rsina
modulus = r = Ö(a²+b²)

NU zeggen ze : cos a = a/r -- a = Bgcos (a/r)
(als b0)
cos a = a/r -- a = - Bgcos (a/r)
(als b0)
Ik begrijp niet zo goed wat die b er te maken heeft. . .
Ze zeggen dat dan sinus a = negatief maar
(?) . (?) . (?).

2. nulpunten

een veelterm met reële coëfficienten met een zo laag mogelijk graad moet als nulpunten 3 , i en 2 + i hebben.

Zo ver kom ik
(z-3) x (z² + 1 ) x ( .... )
Hoe kan ik dit best oplossen.

Ik hoop dat jullie mij kunnen helpen , want anders heb ik geen zin meer om verder te leren :) .

Naïl
3-11-2004

Antwoord

Dag Naïl

1. Je kunt die a en b vergelijken met de x- en y-coördinaat van een punt P in een vlak.
Die r is dan de afstand van dat punt P tot de oorsprong O van het assenstelsel. En de hoek a is de hoek gevormd door de x-as en de rechte OP.

De hoek a is dan de positieve hoek waarvan ^a/_r de cosinus is. Maar dan is -a ook een hoek waarvan ^a/_r de cosinus is. Dat zie je als je op een goniometrische cirkel een cosinuswaarde uitzet. Er zijn dan steeds twee tegengestelde hoeken die die waarde als cosinus hebben.

Welke waarde moet je nu kiezen?
Als b (en dus ook de sinus) positief is, ligt het punt P in het eerste of tweede kwadrant en neem je voor a de positieve hoek. Als b negatief is, ligt het punt P in het derde of vierde kwadrant en neem je voor a de negatieve hoek.

2. Je eerste i heb je goed weggewerkt.
De factor z-(2+i) = z-2-i moet voorkomen opdat 2+i een nulpunt is.
Bereken nu eens : (z-2-i).(z-2+i)

En ik hoop dat je weer echt veel zin hebt om verder te leren...

LL
3-11-2004