WisFaq!

Polynoomringen

Hallo wisfaq,

Ik heb twee polynomen f=(x^12)-1 en g=(x^4)+x.
Il wil de ggd van f en g bepalen in de polynoomringen R=(Z/3Z)[x] en R'=(Z/2Z)[x] (Z de gehele getallen).Ik heb zelf het volgende maar ik weet niet of dit juist is.

1.ggd in R
fmod3=x^12-1, nulpunten in R zijn (de restklassen) 1 en 2
gmod3=x^4+x, nulpunten in R zijn 0 en 2
Dus ik heb de volgende ontbindingen van f en g;
f=x^12-1=(x-1)(x-2)(x^9......)
g=x^4+x=x(x-2)(x^2+2x+1)
dus ggd(f,g)=x-2.

2. ggd in R'
fmod2=x^12-1 nulpunt 1
gmod2=x^4+x nulp'n 0 en 1
Ontbindingen in R'
f=(x-1)(x^11...)
g=x(x-1)(x^2+x+1)
dus ggd(f,g)=x-1.

Is dit allemaal correct?

Vriendelijke groeten,
Viky

viky
29-10-2004

Antwoord

Je oplossingen zijn (nog) niet correct. In geval 1 zouden x^2+2x+1 en x^9+... nog gemeenschappelijke factoren kunnen hebben; in geval 2 zou dat ook nog kunnen. Je zou beide polynomen helemaal moeten ontbinden.
Een snelle manier om de ggd te vinden is het algoritme van Euclides:
X^12-1=(X^8-X^5+X^2)(X^4+X)-(X^3+1) en
X^4+X=X(X^3+1); dus de ggd is X^3+1 (dit werkt in allebei gevallen omdat de gebruikte getallen allemaal 0 of 1 zijn.

kphart
29-10-2004