WisFaq!

Bewijs over gemiddelden

Hoe bewijs je, dat
1/(¹/₂*(1/a+1/b)) (in breukvorm) altijd kleiner of gelijk is aan Öa*b voor elk tweetal positieve getallen a en b?

Wilma
3-10-2004

Antwoord

1/(¹/₂(1/a+1/b))Ö(ab)?
Herschrijf: 1/(¹/₂(1/a+1/b))=2/(1/a+1/b)=2ab/(a+b)
Dus bewijs: 2ab/(a+b)Ö(ab)
kwadrateren: 4a²b²/(a+b)²abÛ4a²b²ab(a+b)²Û4ab(a+b)²Û4aba²+2ab+b²Ûa²-2ab+b²0Û(a-b)²0 ; per definitie is ieder kwadraat 0 dus ook (a-b)²0.
Om het echte bewijs te leveren, is het beter te beginnen bij de laatste regel en dan terug te werken. Dus begin met iets als: laat a,bÎ dan (a-b)²0Ûa²-2ab+b²0Ûa²+2ab+b²4ab etc.etc.

Zie Mathworld - Arithmic Mean [http://mathworld.wolfram.com/ArithmeticMean.html]

Sander
4-10-2004