WisFaq!

Parametervoorstelling lijn en evenwijdigheid

Hallo,
Ik gebruik het boek van J.v.d Craats (vectoren en matrices) om me voor te bereiden op mijn tentamen volgende week. Loop nu vast bij de volgende vraag: (Vraag 1.16 blz₂6 voor het geval u dit boek ook heeft)

Gegeven zijn de lijnen
l: (1,-2,2) + $\lambda$(1,1,1)
m: (2,0,3) + $\lambda$(1,-1,0)
n: (3,-4,6) + $\lambda$(6,3,4)

Bepaal nu punten a$\in$l en b$\in$m zo, dat de lijn ab evenwijdig is met n.

Ik weet dat de richtingsvector van ab gelijk moet zijn aan de richtingsvector van n dus ook (6,3,4).
Verder weet ik dat de normaalvector van n door a en b gaat(toch?). Moet ik nu eerst een vergelijking van de lijnen vinden of los ik dit op een andere manier op? Het boek geeft geen vb. voor het maken van een vergelijking voor een lijn in 3d (wel 2d) Hoe doe ik dit hier? AUB ik zou het erg op prijs stellen als u mij kon helpen. Hoop dat dit zo snel mogelijk kan aangezien ik mijn leraar niet kan bereiken voor assistentie.
Alvast bedankt!

Dejan Tunjic
18-8-2004

Antwoord

Eerst een paar belangrijke opmerkingen:
In R₃ staan er oneindig veel richtingen loodrecht op een vector. Je kunt dus nooit spreken over de normaalvector van een lijn.
Het ook niet mogelijk een vergelijking van een lijn op te stellen.

Voor een punt a op l kunnen de coordinaten geschreven worden als
(1+$\lambda$,-2+$\lambda$,2+$\lambda$)
Voor een punt b op m kunnen de coordinaten geschreven worden als
(2+$\mu$,-$\mu$,3).
De richtingsvector van ab is dan:
(1+$\lambda$,-2+$\lambda$,2+$\lambda$)-(2+$\mu$,-$\mu$,3)=
(-1+$\lambda$-$\mu$,-2+$\lambda$+$\mu$,-1+$\lambda$).
Deze vector moet gelijk zijn aan k(6,3,4)
Dus

-1+$\lambda$-$\mu$=6k |·2|
-2+$\lambda$+$\mu$=3k |·4|
-1+$\lambda$=4k   |·3| 

-2+2$\lambda$-2$\mu$=12k
-8+4$\lambda$+4$\mu$=12k
-3+3$\lambda$=12k

De onderste regel kun je invullen in de bovenste 2:
-2+2$\lambda$-2$\mu$=-3+3$\lambda$
-8+4$\lambda$+4$\mu$=-3+3$\lambda$

Je hebt nu een stelsel in $\lambda$ en $\mu$ dat je kunt oplossen waarna je de punten a en b kunt bepalen.

hk
18-8-2004