WisFaq!

Controle uitkomsten functie onderzoek

Ik heb de volgende vraag:
Gegeven is de functie f(x,y) = -12x² – 10xy² – 8x – 2y⁴ – 6y²
Bepaal alle extrema en de aard van de extrema (minimum of maximum) van deze functie.

Vervolgens ben ik aan de slag gegaan en volgens mij behoorlijk vastgelopen. Kunnen jullie met mij meekijken of ik het wel of niet goed gedaan heb? Alvast bedankt.

Mijn uitwerking:

Partiλle afgeleiden:
1e orde:
fx = -24x – 10y² – 8
fy = -20xy – 8y³ – 12y (of fy = y(-20x – 8y² – 12))

2e orde:
fxx = -24 – 10y²
fyy = -20x – 24y² – 12
fxy = 80y

Stationaire punten (is 1e orde partiele afgeleiden gelijk aan 0 stellen):

-24x – 10y² – 8 = 0 -12x – 5y² – 4 = 0
of wel
-20xy – 8y³ – 12y -5xy – 2y³ – 3y of y(-5xy – 2y² – 3)

Uit de 2e vergelijking: y = 0 of y = Φ(-(5/2)x - (3/2))

Invullen in 1e vergelijking
Als y = 0 dan

-12x – 5*0² – 4 = 0
-12x – 4 = 0
-12x = 4
12x = -4
x = -0,33

Stationaire punt is (0,-0,33)

Als y = Φ(-(5/2)x - (3/2)) dan

-12x – 5*(Φ(-(5/2)x - (3/2)))² – 4 = 0
-12x – (-25/12)x – (-15/2) - 4 = 0
-12x +12,5x + 7,5 – 4 = 0
0,5x + 3,5 = 0
0,5x = -3,5
x = -7

y = √(-(5/2)*7 - (3/2)) = Φ16 = 4 of -4

Stationaire punten (4, -7) , (-4, -7)

Invullen in rekenschema (vul de getallen (x,y) in de formules in):

(0, -0,33) (4, -7) (-4, -7)
fxx = -24 – 10y² -25,11 -514 -514
fyy = -20x – 24y² – 12 -9,33 -1268 -1108
fxy = 80y -26,67 -560 -560
Delta -25,11*-9,33=234,37 -514*-1268=651752 -514*-1108=569512

In alle antwoorden zijn extremen aanwezig want delta 0
De punten (0, -0,33), (4, -7), (-4, -7) zijn allen minima omdat fxx 0

De grootte van de minima zijn:

f(0, -0,33)= -12 * 0² – 10*(-0,33)² – 8 * 0 – 2 * (-0,33)⁴ – 6 * (-0,33)²
= 0 – 0 – 0 – 2 * 0,0123 - 6 * 0,1111
= 0,0247 - 0,6667
= -0,642

f(4, -7)= -12 * 4² – 10 * 4 * (-7)² – 8 * 4 – 2 * (-7)² – 6 * (-7)²
= -192 – 1960 – 32 – 4802 – 294
= - 7280

f(-4, -7)= -12 * (-4)² – 10 * (-4) * (-7)² – 8 * (-4) – 2 * (-7)² – 6 * (-7)²
= -192 + 1960 + 32 – 4802 – 294
= - 3296

Gerrit Jan Veldhuis
2-6-2004

Antwoord

Moet f_xx niet gewoon -24 zijn?

MBL
2-6-2004