WisFaq!

Rechten en vlakken met parameters

opgave
-------
T.o.v. een orthonormale ijk zijn gegeven de rechten

A met vergelijkingen
{ x = -2
{ y - z = 0

B met vergelijkingen
{ x = 1
{ y + z = 0

en het vlak g met vergelijking y = 3/4

De rechte C(l) snijdt de rechten A en B en gaat door het punt p(0,0,l) (l: reële parameter).

(i) Bepaal de coördinaten van het snijpunt s(l) van de rechte C(l) met het vlak g.
(ii) Bepaal de meetkundige plaats van de snijpunten s(l) als het punt p de z-as doorloopt; wat stelt deze meetkundige plaats ( die dus een figuur is in het vlak g) voor?

Mijn probleem
--------------
Hoewel deze oefening verschrikkelijk simpel oogt, lukt het mij maar niet ze op te lossen. (want het is alweer een jaar geleden dat ik dat soort ruimtemeetkunde heb gezien) Vandaar mijn vraag: zou iemand deze oefening willen oplossen als voorbeeld.

dank bij voorbaat

bert
29-5-2004

Antwoord

dag Bert,

De aanpak is als volgt.
Maak een parametervoorstelling van A en van B.
In je uitwerking (waar je terecht onzeker over bent...) kies je een punt van A en een punt van B, maar je moet de hele rechten krijgen, dus:

A =

,

B=

Maak vervolgens twee vlakken V en W:
V door p(0,0,l) en de rechte A
W door p(0,0,l) en de rechte B.
Ik neem aan dat je in staat bent om van V en W de vergelijkingen (met de parameter l) op te stellen.
De snijlijn van V en W is juist de gezochte rechte C(l)
Deze weer snijden met g levert op:
x = -¹/_l
y = ³/₄
z = l + ¹/₄
De meetkundige plaats van deze punten in het vlak g wordt bepaald door de vergelijking (elimineer l uit de vergelijkingen voor x en z):
z = ^-1/_x + ¹/₄, hetgeen een hyperbool voorstelt.
groet,

Anneke
31-5-2004