WisFaq!

Families van lijnen

Je hebt enkele lijnen uit de familie van evenwijdige lijnen lp:y=-x+p en de grafiek f(x)=-¹/₂x²+2x+3.
Je hebt de volgende evenwijdige lijnen die hierboven bedoeld worden:
y=-x+9
y=-x+5¹/₂
y=-x+2 ( deze lijnen zijn in een grafiek getekend met de parabool f )

Voor welke waarde van p verwacht je dat de lijn Lp de parabool zal raken?

Controleer je antwoord door voor die waarde van p de discriminant van de vergelijking -¹/₂x²+2x+3 = -x + p te berekenen.

Voor welke waarden van p snijdt de lijn Lp de parabool in twee punten? Wanneer hebben de lijn Lp en de parabool geen punt gemeenschappelijk?

ik hoop dat iemand me kan helpen want ik snap er geen snars van.
Bedankt

L.
18-5-2004

Antwoord

Wanneer je de grafieken van de 4 functies tekent (met grafische rekenmachine of zelf doen), dan zie je een bergparabool en 3 lijnen. Twee van de drie lijnen gaan dwars door de parabool, de derde maakt geen contact met de parabool. Deze laatst bedoelde lijn is de lijn y = -x + 9.
Door in plaats van het getal 9 een kleiner getal te kiezen, komt de lijn omlaag en dus dichter bij de parabool.
Met wat geprobeer kun je dan ontdekken dat als je de lijn y = -x + 7.5 neemt er een raking lijkt te ontstaan tussen de parabool en deze lijn.
Omdat je natuurlijk zekerheid wilt dat het écht raken is, moet er ook een betrouwbare berekening te geven zijn.
Dit loopt als volgt.
Uit -¹/₂x²+2x+3 = -x+7¹/₂ volgt -¹/₂x²+3x-4¹/₂ = 0 en dat is te versimpelen tot x² - 6x + 9 = 0
Als je naar de discriminant van deze tweedegraads vergelijking kijkt, dan zie je dat hij precies 0 is. Namelijk D = b² - 4ac = (-6)² - 4.1.9 = 0.
Dat betekent dat de vergelijking die er staat maar één oplossing heeft. Maar dat betekent dat de lijn en de parabool elkaar maar 1 keer zullen snijden, ofwel zullen raken.

MBL
18-5-2004