WisFaq!

Integraal van ln³x/2x

ik weet niet hoe ik deze moet berekenen:

ò^ln3x/_2xdx=?

Karel
2-5-2004

Antwoord

Beste Karel,

Je zou dit kunnen oplossen m.b.v. substitutiemethode.
Stel u = (ln(x))⁴ Û du/dx = (4·(ln(x))³)/x
Û xdu = 4·(ln(x))³dx Û du = (4·(ln(x))³dx )/x Û ¹/₈du = ((ln(x))³dx)/(2x)
Dus ò((ln(x))³dx)/(2x) = ò¹/₈du = ¹/₈òdu = ¹/₈u + c = ¹/₈(ln(x))⁴ + c.

Maar je zou ook als volgt kunnen redeneren: integreren is de inverse bewerking van differentiëren, dus als je de primitieve differentieert krijg je de oorspronkelijke functie (het integrandum) terug. Je weet dat (xⁿ)' = nx^n-1, dus je zou kunnen gokken dat de primitieve (ln(x))⁴ is. Om te controleren dat dit antwoord al dan niet correct is, gaan we 't differentiëren. Dit gaan we doen m.b.v. de kettingregel.
Stel u = ln(x) Û du/dx = 1/x. y = u⁴ Û dy/du = 4u³ = 4(ln(x))³ Þ du/dx · dy/du = dy/dx = (4·(ln(x))³)·(1/x) = (4·(ln(x))³)/x. Bijna goed! Alleen moeten we die 4 weg zien te krijgen en de noemer moet met 2 vermenigvuldigd worden, dus delen door 4 (=·¹/₄) (om de 4 weg te krijgen) en ook delen door 2 (= ·¹/₂), dus delen door 8 (=·¹/₈). Dus we moeten de gegokte primitieve delen door 8, dus ¹/₈·(ln(x))⁴ + c.

Groetjes,

Davy.

Davy
2-5-2004