WisFaq!

Bewijs van verband gulden snede-Fibonacci

Hallo,

ik vroeg me af of dit volgende bewijs aanvaardbaar zou zijn om te bewijzen dat voor de rij van Fibonacci geldt dat de lim (voor n -+ ¥) van Un+1/Un = 1.6... (= F)

Elke 3 opeenvolgende termen in een rij van Fibonacci ( of Lucas) kunnen worden voorgesteld door :

a , b , a + b met a,b 0 en b a

dan geldt: Un+1/Un = (a+b)/b en Un+1/Un = b/a

daaruit volgt:

(a+b)/b=b/a Û a²+ab-b² = 0
Û (a/b) = 0.61.... (of - 1.61...( kan niet a,b 0)) Û b/a = 1.61... (= F)

dan:

lim (n-+¥) van Un+1/Un
= lim (n-+¥) van b/a
= lim (n-+¥) van F
= F

Alvast bedankt,

Pieter

Pieter
24-4-2004

Antwoord

Beste Pieter,

Wat jij presenteert is een variant op een bekende truc om een constante in te vullen als we al weten dat de limiet bestaat. Maar a en b zouden dan de betreffende limieten moeten zijn, en dat kan absoluut niet. Je kunt niet aannemen dat de U_n zèlf naar een limietwaarde gaat, dat is pertinent onjuist.

Dit type truc zou misschien kunnen als je het bestaan van de limiet veronderstelt van ^U_n+1/_Un. Want we hebben

^U_n+1/_Un = ^(U_n+U_n-1)/_Un = 1 + ^U_n-1/_Un.

Als we de limiet r noemen, dan hebben we dus r = 1 + ¹/_r en kun je jouw verhaal ophouden.

Helemaal zuiver is het niet, want je weet niet zeker dat de limiet bestaat. Dat heb je niet aangetoond!!

Daarom is het verhaal in vraag 19806 zo prettig.

Dit antwoord is tot stand gekomen met hulp van gt.

FvL
27-4-2004