WisFaq!

Vergelijking zoeken

Kunnen jullie mij wat op weg helpen hoe ik aan deze oefening moet beginnen?

Een functie heeft een vergelijking van de vorm f(x)= a/(bx²+cx+d), waarbij a, b , c en d getallen zijn die niet tegelijk nul zijn. Verder is f(1)=1, f(2)=2, f(3)=4. Bepaal de vergelijking van f

Ik was zo gestart: ik had de vergelijking herwerkt naar: ax²+bx+c= a/f(x)
vervolgens heb ik dan de xwaarden ingevuld.
De matrix die ik dan bekwam heb ik ingegeven in mijn rekenmachine, maar ik bekom steeds een foute uitkomst.
Wat doe ik verkeerd??

bedankt
Julie

julie
11-4-2004

Antwoord

Jouw "herwerken" is alleszins niet gesteund op een wiskundig logische redenering (waar is d naartoe?) en is dan ook fout.

Er zijn 4 onbekenden, en nochtans maar 3 lineaire vergelijkingen om ze te bepalen. Zit er misschien een verborgen "verband" tussen de onbekenden? Antwoord: ja, in de zin dat als we alle onbekenden met eenzelfde getal vermenigvuldigen, het uiteindelijke resultaat voor f(x) hetzelfde blijft!

Je kan met andere woorden nooit een "enig juiste" oplossing vinden voor de 4 onbekenden. Want voor elke oplossing (a,b,c,d) is (ka,kb,kc,kd) er ook een. Daarom gaan we alle onbekenden normeren tov een van hen die zeker niet nul is (want "delen door nul is flauwekul"). Dat is in ons geval de onbekende a, want als die nul was, dan waren alle functiewaarden nul, en dat zijn ze duidelijk niet.

f(x) = [a/a] / [(b/a)x² + (c/a)x + (d/a)]

Stel nu b/a=B, c/a=C en d/a=D, dan bekomen we

f(x) = 1 / [Bx²+Cx+D]

B,C en D kan je nu eenvoudig bepalen uit de gegevens. Als een van hen ook niet-nul blijkt te zijn, hadden we ook op die onbekende kunnen normeren, maar dat weet je natuurlijk niet op voorhand. Gevalsonderscheiding moet dan duidelijkheid brengen.

PS: Je bekomt dezelfde oplossing door gewoon de gegevens in de originele vergelijking te stoppen. De 4 onbekenden in 3 vergelijkingen geven dan door reductie van de matrix een oplossingsverzameling met 1 vrijheidsgraad. De waarde van die vrijheidsgraad is volledig vergelijkbaar met de rol van "k" hierboven en is dus naar keuze.

cl
12-4-2004