WisFaq!

Complexe getallen

kunnen jullie mij helpen met volgende vraag?

Bereken 1+z+z²+...+z¹² indien z=cosp/6+isinp/6

Is er een andere manier om dit op te lossen door telkens elke macht apart te berkenen via het binomium van Newton, want dit brengt nogal veel rekenwerk met zich mee, of is er een eenvoudigere manier?

bedankt
Jos

jos
9-4-2004

Antwoord

Manier 1:

z = exp(ip/6), en het linkerlid is als eindige meetkundige reeks te schrijven als (z¹³ - 1)/(z-1). Dat vereenvoudigt het rekenwerk al heel wat.

Manier 2:

1, z, z², ... z¹¹ zijn de 12 wortels van de vergelijking z^12=1. Ken je de eigenschap waarmee je uit de coefficienten van een veelterm meteen de som van de wortels kan halen? Tel bij het resultaat nog z¹² bij en je bekomt weer hetzelfde eenvoudige resultaat!

cl
9-4-2004