WisFaq!

Homogene vergelijking van kegeloppervlakken

Geachte,
Ik heb een vraagje over kegeloppervlakken. Namelijk in onze cursus staat de volgende stelling + bewijs :
Stelling : f(x,y,z)=0 is de vgl van een kegeloppervlak met top in de oorsprong als en alleen dan als f(x,y,z) homogeen is in x,y en z.
Bewijs : P(x,y,z)Î kegel Û f(x,y,z)=0 Û f(tx,ty,tz)=0 Û Q(tx,ty,tz) Î kegel

Maar ik snap de redenering van het bewijs niet. Zou u mij dit aub. kunnen uitleggen?
Alvast héél hard bedankt,
vriendelijke groeten
Caro

Caroline
27-3-2004

Antwoord

Beste Caroline,

De redenering is als volgt:
1) Een punt met coördinaten (a,b,c) ligt dan en slechts dan op het oppervlak als f(a,b,c)=0.
2) Een oppervlak is precies dan een kegeloppervlak met top (0,0,0) als het bestaat uit rechte lijnen gaande door (0,0,0).
3) Opdat het oppervlak uit rechte lijnen gaande door (0,0,0) bestaat, is nodig en voldoende: dat telkens wanneer een punt (x,y,z) op het oppervlak ligt, ook (tx,ty,tz) op het oppervlak ligt (puntvermenigvuldiging van (x,y,z) met factor t vanuit de oorsprong).
4) Alleen voor homogene vergelijkingen geldt:
f(x,y,z)=0 Û f(tx,ty,tz)=0 (voor elke t).
Is het zo duidelijk? Vraag anders verder. Groeten. Hennie

hr
1-4-2004