WisFaq!

Homothetie

De transformatie van A(x,y) naar A(x',y') waarbij
x'=2x-3 en y'=2y+4 is een homothetie. Bewijs dat, geef de coördinaten van het centrum en de factor.

Als C(x1,y1)dan is volgens mij
k(x-x1)=2x-3-x1 en k(y-y1)=2y+4
intuïtief voel ik aan dat k=2
maar ik kom een vergelijking tekort om dat aan te tonen.
Wanneer ik k heb kan ik de rest vinden.

Jim Van Leemput
26-3-2004

Antwoord

Het centrum moet voldoen aan x=x' en y=y' zodat

2x - 3 = x
2y + 4 = y

en dus het centrum overeen komt het punt (3,-4). Dat geldt natuurlijk enkel als de opgegeven vergelijkingen daadwerkelijk overeenkomen met een homothetie, maar laten we daar maar van uit gaan (het eenvoudige bewijs heb je waarschijnlijk ergens in een boek staan)

Voor de factor k moet gelden dat de x- en y-"afstanden" tot het centrum inderdaad k keer groter worden. Voor een willekeurig punt (a,b) moet dus gelden dat

oorspronkelijke x-afstand = a-3
nieuwe x-afstand = (2a-3)-3

k(a-3) = 2a-6

Aangezien dit moet gelden voor ALLE waarden van a en (dit is het cruciale in de redenering) en twee veeltermen slechts overal dezelfde waarde leveren als al hun coefficienten gelijk zijn, moet gelden dat k=2.

Je had het middelpunt trouwens ook kunnen vinden met een dergelijke "gelijke coefficienten" redenering.

cl
29-3-2004