WisFaq!

Differentieren met de kettingregel

Kunnen jullie mij helpen met de volgende som?

g(t)= (tan(pt)) / (Ö(2t+1))

Willen jullie deze som stap voor stap uitleggen, ik snap niet helemaal hoe ik het moet aanpakken.

B.V.D.

Niels

Niels Oudshoorn
25-3-2004

Antwoord

Beste Niels,

Ken je de quotiëntregel, die je gebruikt om een breuk te differentiëren. Algemeen gaat die als volgt (^f/_g)' = ^{(fg' - gf')}/_g² natuurlijk bedoel ik met f eigenlijk f(x) of f(t), ... maar die heb ik voor de overzichtelijkheid weggelaten. Laten we de breuk opsplitsen in f(t)=tan(pt) en g(t)=Ö(2t+1), en dan kunnen we voor het gemak alvast f'(t) en g'(t) berekenen want die hebben we sowieso nodig in de quotiëntregel.

Je zei dat je problemen hebt met de kettingregel. Je moet dan kijken welke functie in de andere functie zit. Bij de teller zit pt 'in' de tangensfunctie. Je maakt een hulpvariabele, zeg u, waar je de ingesloten functie aan gelijkstelt, dus u=pt. De 'insluitende' functie is de tangensfunctie. Kies een nieuwe hulpvariabele y=tan(pt), maar omdat we pt aan u hebben gelijkgesteld is y=tan(u).

Dan gaan we de hulpvariabelen differentiëren. ^du/_dt=(pt)'=p.
De afgeleide van y, ^dy/_du=(tan(u))'=1+tan²(u).

Nu gaan we de afgeleide schakels met elkaar vermenigvuldigen, want ^du/_dt·^dy/_du=^dy/_dt.
Dus ^dy/_dt=p(1+tan²(u)), maar we weten dat u=pt, dus is ^dy/_dt=p(1+tan²(pt)).

Hetzelfde ga je met de noemer (g(t)) doen. Welke functie zit in de andere functie, juist: 2t+1 zit in de wortelfunctie. Kun jij het nu zelf afmaken? Het antwoord is g'(t)=¹/_Ö(2t+1).

En dan kun je de regel ^{(fg' - gf')}/_g² toepassen want je kent f(t), g'(t), g(t) en f'(t).
Daarna kun je het een en ander nog vereenvoudigen...

Laat maar iets horen als je vast zit,

Je kunt trouwens via de site Calc101 de afgeleide stap voor stap laten berekenen. Typ bij "take the derivative of" (tan[Pi*t])/(sqrt[2*t+1]) in en bij "with respect to" t en klik daarna op DO IT.

Groetjes,

Davy.

Davy
25-3-2004