WisFaq!

Moeilijke limiet

hoi,

Er wordt me gevraagd de volgende limiet op te lossen, maar ik raak er niet wijs uit... kan je me helpen?

lim(3^x+1)^(1/lnx)

Dank bij voorbaat!!!!

Groetjes, Kristof

kristof
22-3-2004

Antwoord

Hallo Kristof,

Voor negatieve x-waarden is de uitdrukking niet gedefinieerd wegens de ln.

Voor x naar 0 gaand staat er 2⁰=1

Voor x naar 1 maar kleiner dan 1 staat er 4^-¥=0

Voor x naar 1 maar groter dan 1 staat er 4^+¥=¥

Voor x naar ¥ staat er ¥⁰ wat een onbepaaldheid is. Dus ik veronderstel dat je die limiet wil?

Als je een uitdrukking hebt met een grondtal en een exponent waarbij in allebei een x voorkomt, is het meestal een goed idee om de uitdrukking f(x) te herschrijven als e^ln(f(x))

Dit omdat de ln de eigenschap heeft dat de exponent naar beneden wordt gehaald, want:
ln(a^b) = b*ln(a)

Als je dat hier doet, kom je op e^((ln(3^x+1))/ln(x))

Dit is e^¥/¥ dus nog steeds onbepaald, maar nu kan je wel de regel van de l'Hôpital toepassen op de exponent. Dit brengt je op e^¥ en dus is het antwoord ¥, wat ook duidelijk blijkt als je de grafiek zou tekenen.

Groeten,
Christophe.

Christophe
22-3-2004