WisFaq!

Schuine asymptoop

Kan iemand me zeggen hoe dat ik uit
(x+2x)/(3x-2) een schuine asypmtoop bereken?
ik weet dat ik eerst de afgeleide moet berekenen
en dan zijn er 2 dingen die ik met mekaar verwar : limiet berkenen van de afgeleide en limiet van de functie
kan iemand me zeggen hoe dat ik dat bij deze oef moet doen?
thanks, christope

christophe
10-3-2004

Antwoord

Ten eerste is het juiste woord 'asymptoot'.

ten tweede heeft jouw opgave géén schuine asymptoot.

immers:
(x+2x)/(3x-2) = 3x/(3x-2) = (3x -2+2)/(3x-2)
=(3x-2)/(3x-2) + 2/(3x-2)
= 1 + 2/(3x-2)

Wanneer nu x$\to$±$\infty$ gaat, verdwijnt het breuk-gedeelte, en hou je over y=1.
Dus de grafiek heeft niet een schuine doch een horizontale asymptoot y=1.
(en een verticale x=2/3)

In het algemeen kan ik je wel uitleggen wat je doen moet indien je vermoedt dat je functie f(x) een schuine asymptoot ('S.A.') heeft.
In dat geval zal de curve steeds meer op een rechte lijn gaan lijken. En een rechte lijn heeft 1 bepaalde richtingscoëfficiënt.
Dus je rekent eerst van de functie de afgeleide uit: f'(x), en je kijkt of in de limiet x$\to$±$\infty$ de afgeleide een bepaalde waarde krijgt.

· gaat f'(x) dan naar 0, dan heb je -uiteraard- met een horizontale asymptoot (H.A.) te maken;
· gaat f'(x) naar ±$\infty$, dan is er geen H.A. of S.A.;
· gaat f'(x) naar een bepaalde waarde $\ne$0, dan heb je met een S.A. te maken.

Noem deze waarde (uit dit laatste geval) a.

Dan weet je vast dat de vergelijking van je S.A. eruit ziet als y=ax+b
(met a reeds bekend, en b nog onbekend)
Nu moet je alleen nog de b uitrekenen. Hoe doe je dat?

Wel, je weet dat in de limiet x$\to$±$\infty$ er geen verschil meer is tussen de functie f(x) en de S.A.
ofwel er moet gelden dat in de limiet x$\to$±$\infty$
{f(x) - (ax+b)}=0
Hieruit volgt dat b = lim x$\to$±$\infty$ {f(x) - ax}

hiermee is de vergelijking van je S.A. bekend.

groeten,
martijn

mg
10-3-2004