WisFaq!

Limiet berekenen + Kettingbreuk

Ik ben bezig met een praktisch opdracht over kettingbreuken, maar ik zit vast bij hetvolgende probleem:

1.

Ik heb de vraag de vorige keer niet helemaal goed gesteld, maar ik bedoel:


De rij is:

Un+1 = 1 + 1/Un

En de vraag is dan

lim Un
n -- oneindig

Volgens mij is deze niet zo moeilijk, maar ik kom er even niet uit.

En mijn 2de vraag, de belangrijkste eigenlijk,

Zal de vereenvoudigde rij van de oneindige ketting breuk 2,2,2,2,... een twee keer zo grote limiet hebben als de vorige rij. (Deze had als kettingbruik 1,1,1,...)

Bedankt

Mark
3-3-2004

Antwoord

Men moet eigenlijk eerst bewijzen dat de rij convergeert.
Stelt men vervolgens de limiet gelijk aan L, dan volgt uit de recurrente betrekking U_n+1=1+1/U_n door links en rechts van "=" de limiet te nemen: L=1+1/L. Hieruit volgt L²=L+1, (L-1/2)²=5/4, L=(1+Ö5)/2 (ga na dat L=(1-Ö5)/2 niet kan voldoen).
Neem eens beginterm 1, en reken een tiental termen van de rij U_n uit.
In de tweede vraag heeft men de recurrente betrekking V_n+1=2+2/V_n. Is de limiet M, dan volgt M=2+2/M, en uiteindelijk M=1+Ö3 (ga dit na). Dus M is niet gelijk aan 2L. Een kettingbreuk laat zich niet zo eenvoudig vereenvoudigen. Reken eens een tiental termen van de rij V_n uit, eerst met beginterm 1 en dan met beginterm 2 (afhankelijk van de beginterm krijgt men verschillende rijen, maar dezelfde limiet).

hr
4-3-2004