WisFaq!

Evenwijdige lijn construeren

In de vraag hoe een vijfhoek een driehoek te maken met dezelfde oppervlakte moet op een gegeven moment evenwijdige lijnen getrokken worden aan AC door B en aan AD door E. Ik ben benieuwd hoe dat alleen met een passer en een liniaal kan. Dus zonder geodriehoek.

Daan
28-2-2004

Antwoord

Hieronder volgt de constructie van een lijn n die door een punt P moet gaan en evenwijdig is aan een gegeven lijn m.
Dus een en ander los gezien van de vijfhoek.
- Kies op m een punt A.
- Teken de lijn AP.
- Kies op m ook een punt B.
- Teken de cirkel (A, AB); betekent middelpunt A en straal AB.
- Deze cirkel snijdt de lijn AP in C.
- Teken de cirkel (P, AB); deze snijdt de lijn AP (oa.) in het punt Q.
- Teken de cirkel (Q, CB).
- Deze snijdt de cirkel (P) in R.
- Teken PR.
En PR is de gezochte lijn n.

Klik op de Cabri-werkbalk geheel links (Stap voor stap animatie) op de 'pijl'...

Ik denk dat je zelf de juistheid van de constructie wel kunt bewijzen door te kijken naar de driehoeken ACB en PQR, en gebruik te maken van F-hoeken...

Een medebeantwoorder (Anneke) deed de suggestie (waarvoor dank) voor een constructie met behulp van twee loodlijnen.
Deze staat hieronder (fraai vanwege de symmetrie).


Klik weer op de Cabri-werkbalk geheel links (Stap voor stap animatie) op de 'pijl'...

Teken een cirkel met middelpunt P die m in de punten Q en R snijdt.
Teken dan de cirkels (Q, QP) en (R, RP), die elkaar ook nog in S snijden.
Teken de lijn PS (deze staat loodrecht op de lijn m; bewijs!).
De eerste cirkel (P) snijdt PS in T en U.
Teken dan de cirkels (U, UT) en (T, TU).
Die snijden elkaar (oa.) in V.
De lijn PV is dan de gevraagde lijn.

En tenslotte nog een constructie die een stuk eenvoudiger is dan beide bovenstaande (met dank aan FvL); en waarbij je 'eigenlijk' alleen een passer nodig hebt.


Klik weer op de Cabri-werkbalk geheel links (Stap voor stap animatie) op de 'pijl'...

Kies een punt A op M.
Teken (A, AP), die m snijdt in (o.a.) B.
Teken dan (P, PA) en (B, BA) die elkaar ook nog snijden in C.
PC is dan de gevraagde lijn.

Deze laatste constructie is er eentje uit de zogenoemde Passermeetkunde. Daarin gebruik je voor de constructies alleen een passer.
Een rechte lijn wordt dan vastgelegd door twee punten (denk de lijn erdoor er zelf bij).

Zie ook Passermeetkunde.

Zie voor een iets andere benadering van het probleem onderstaande link.

dk
28-2-2004