WisFaq!

Lineaire combinaties

Ik heb problemen met de volgende opgave:

(1)De oplossingen van een homogeen stelsel vormen steeds een deelruimte. Om gekeerd kan elke deelruimte gezien worden als de oplossingsruimte van een homogeen stelsel.
Neem D= (2,1,1,0), (-1,2,0,1). Van welk homogeen stelsel is deze deelruimte de oplossingsruimte?
(Aanwijzing: elk element van D is van de vorm (x,y,z,u)= r(2,1,1,0) + s(-1,2,0,1) Elimineer hieruit r en s)

Hier kan ik kop noch staart aan krijgen eerlijk gezegd...

(2)
Is {e1, e2, e3} een basis van R^3, bepaal dan welke verzameling eveneesn een basis is van R^3
1) V1={e1,e1+e2+e3}
2) V2={e1+e2, e1+e3, e2+e3}
3) V3={2e1+e2+3e3, 3e1+e2-e3, e1-4e3}
4) V4={e1,e1+e3, e1-e3, e2+e3}

(Waarbij bij bv 3e2 de eerste drie op dezelfde hoogte staat als e, boven de e staat een pijltje en de 2 staat onder de e....)

Hoe kan je zoiets bepalen?

Ik hoop dat iemand zo vriendelijk zou willen zijn me dit duidelijk te maken?

Anne
26-2-2004

Antwoord

Dag Anne,

(1)
De aanwijzing geeft toch heel wat informatie.
Begrijp je dat uit
(x,y,z,u)= r(2,1,1,0) + s(-1,2,0,1)
volgt:
x = 2r - s
y = r + 2s
z = r
u = s
De laatste twee vergelijkingen maken het wel heel eenvoudig om r en s te elimineren: r is dus z, en s is dus u.
Dit invullen in de eerste twee vergelijkingen geeft het gewenste stelsel:
x = 2z - u
y = z + 2u
Eventueel nog op 0 herleiden, om te laten zien dat het stelsel homogeen is, en klaar.
(2)
1) kan nooit een basis zijn, want er staan maar twee vectoren (e1+e2+e3 is maar één vector!)
2) dit kan een basis zijn. Je moet nog even controleren of het stelsel onafhankelijk is. Dat kan op veel manieren, bijvoorbeeld met de determinant. Het blijkt inderdaad een onafhankelijk stelsel te zijn (determinant is -2, dus niet 0), dus is dit een basis.
3) weer met de determinant: deze is 0, dus het stelsel is afhankelijk, dus geen basis.
4) dit is een vector te veel, dus geen basis.
groet,

Anneke
26-2-2004