WisFaq!

Goniometrie

Goeieavond iedereen,

Ik moet tegen morgen een oefening oplossen. Ik zit er al een uur op te zoeken maar vind hem niet... Kunnen jullie mij enventueel wat tips geven aub?

1 + cos (a+b) + cos a + cos b =
4 cos ((a+b)/2) * cos a/2 * cos b/2

Dankjewel

Myriam
11-2-2004

Antwoord

Dag Myriam,

(jouw opgave begon met -1, dat moet +1 zijn)

Een tactiek die bij dat soort gelijkheden meestal werkt, is alles te herleiden naar het kleinst voorkomende argument, en sommen uit te werken. In dit geval heb je cosinus staan van a, a/2, (a+b)/2...
Dus ik zou zeggen: breng alles terug tot a/2 en b/2.

Te bewijzen: rechterlid - linkerlid = 0

4 cos(a+b)/2 cosa/2 cosb/2 - 1 - cos(a+b) - cosa - cosb

Somformule om (a+b)/2 en (a+b) weg te krijgen:

= 4 cos²a/2 cos²b/2 - 4sina/2 cosa/2 sinb/2 cosb/2 - 1 - cosa cosb + sinasinb - cosa - cosb

Nu herken je in die tweede term duidelijk de dubbelehoekformule voor de sinus (tweemaal) zodat die term -sinasinb wordt en wegvalt.

We herleiden de resterende a en b tot a/2 en b/2:

... = 4 cos²a/2 cos²b/2 - 1 - (2cos²a/2 - 1)(2cos²b/2 - 1) - 2cos²a/2 + 1 - 2cos²b/2 + 1

= 0

Groeten,
Christophe.

Christophe
11-2-2004