WisFaq!

Goniometrie: som- en verschilformules

hoe kan ik bewijzen dat in een willekeurige driehoed ABC met hoeken a, b en c :

cos a + cos b + cos c = 1 + 4 . sin a/2 . sin b/2 . sin c/2

schrooten hanne
1-2-2004

Antwoord

Je weet dat c = 180 - (a + b) (driehoek) en dus dat cos c = .....
Vervang in het linkerlid.
Ook is c/2 = 90 - (a + b)/2 en dus sin(c/2) = .....
Vervang dit in het rechterlid.

Pas op "cos a + cos b" (linkerlid) de formule van Simpson toe. Beschouw cos(a + b) als cos 2(^{a + b})/₂ en pas hierop de (juiste) formule van de dubbele hoek toe zodat je nu in het linkerlid 2cos(^{a + b})/₂ kunt afzonderen.

Pas nu op hetgeen tussen de haakjes overblijft (een verschil van 2 cosinussen) opnieuw de formule van Simpson toe en je bekomt het rechterlid.

LL
1-2-2004