WisFaq!

Bilineaire vormen

toon aan dat de bilineiare vorm b: VxV® de som is van een symmetrische en anti-symmetrische bilineaire vorm (antis-symm : b(x,y)=-b(y,x)"x,y ÎV

ik heb al gevonde (ni veel hoor:-))
b(x,y)= b(y,x) (symm) -b(y,x) (antisymm)
ma da lijkt 0 uit tekomen? kan dit, of hoe kan ik dit op een andere manier bewijzen

Nele Geerdens
10-1-2004

Antwoord

Hallo Nele,

Gevraagd is te bewijzen dat b(x,y) te schrijven is als c(x,y)+d(x,y)

waarbij c(x,y) een symmetrische vorm is, dus c(x,y)=c(y,x)
en d(x,y) een antisymmetrische vorm is, dus d(x,y)=-d(y,x)

En zowel d als c moeten bilineaire vormen zijn...

Je kan nu echter zien dat
b(x,y)=(b(x,y)+b(y,x))/2 + (b(x,y)-b(y,x))/2

Stel c(x,y)=(b(x,y)+b(y,x))/2
en d(x,y)=(b(x,y)-b(y,x))/2

Dan check je eenvoudig dat c symmetrisch is en d antisymmetrisch. En het zijn ook allebei bilineaire vormen: bereken maar eens c(rx+sx',y) en enkele andere uitdrukkingen, om in te zien dat de lineariteit in beide argumenten (x en y) geldt.

(je zal bij dat laatste natuurlijk moeten steunen op het gegeven dat b bilineair is)

Groeten,

Christophe
12-1-2004