WisFaq!

Bijectie en deelverzameling

hi , even een vraagje!
E={a,b,c}
en f: P(E) ------ P(E)
f(A)= het complement van A
hierbij is A een deelverzameling van de verzameling E.
en P(E) is verzamelingen van deelverzamelingen van E.
toon aan dat de afbeelding f bijectief is van P(E) naar
P(E) en bepaal de 'tegengestelde afbeelding'.
het probleem is, hoe moet nu beginnen,
alvast gelukkig nieuwjaar

Verzameler
31-12-2003

Antwoord

Je wilt aantonen dat f bijectief is, ofwel: bij elke deelverzameling A hoort precies één f(A), en bij elke f(A) hoort precies één A.
Het zal duidelijk zijn dat elke deelverzameling van E precies één complement heeft. Je zou in dit geval zelfs alle deelverzamelingen kunnen opschrijven, en alle complementen daarvan.

A	f(A)
{}	E
{a}	{b,c}
{b}	{a,c}
{c}	{a,b}
{a,b}	{c}
...	...
...	...

enzovoort dus.
Verder is eigenlijk ook direct duidelijk dat bij elk 'complement' ook precies één aanvullende verzameling hoort. Dus: als f(A) = f(B), dan moet A=B. Immers: twee verschillende deelverzamelingen van E kunnen niet hetzelfde complement hebben.
Snap je nu ook wat de 'tegengestelde afbeelding' van f is?
succes,
groet

Anneke
31-12-2003