WisFaq!

Een integraal begrenzen

Hoe kan je bewijzen dat 0 Int[ln(x)/Öx.dx:x=1..e] Ö2.(e-1)/2?

De ondergrens is makkelijk, omdat ln(1) = 0.

Als bovengrens voor de functie nam ik 1/Öx, maar dat komt te groot uit.

Dank bij voorbaat,
Christine

Christine
30-12-2003

Antwoord

Hoi,

Dit lijkt me een rare opgave: met u=2.ln(x) te substitueren kan je die integraal gewoon berekenen...

Ik zat wat te puzzelen om een bovengrens van ln(x)/Öx te bepalen die na integreren precies die gevraagde bovengrens levert, maar zonder resultaat...

Anders dan maar... Omdat Öx1 voor x tussen 1 en e zal ln(x)/Öxln(x).
De integraal van ln(x) is x.ln(x)-x, zodat 1 een bovengrens is voor je integraal. Je moet enkel nog nagaan dat Ö2.(e-1)/2 groter is dan 1 of dat e1+Ö2. Met e=2.718 en Ö2=1.414 is dit duidelijk...

Groetjes,
Johan

PS: Je maakte de opmerking dat ln(1)=0 en dat daarom de gevraagde integraal ook positief zou zijn. Dit is niet correct. De ondergrens 0 volgt wel uit de bedenking dat ln(x) positief is voor alle x-waarden tussen 1 en e.

PPS: Je kan makkelijk een scherper ondergrens vinden door op te merken dat Öxx voor x tussen 1 en e, zodat ln(x)/Öxln(x)/x. Deze laatste functie kan je makkelijk integreren.

andros
31-12-2003