WisFaq!

Oppervlakte cirkel benaderen met Riemann-sommen

Ik heb een opdracht gekregen waar ik niet uitkom:
Bereken het oppervlak van een cirkel met straal 10 cm op de volgende manieren:

a) Deel het oppervlak op in n ringen en laat zien dat voor het oppervlak van de i-de cirkel kan gelden: S_i=2.px_i.Dx en stel de Riemann-som op.

b) Deel het cirkeloppervlak op in rechthoeken en stel de Riemann-som op voor de rechthoeken.
Hint: x²+y²=10²

Ik kom er niet uit kun jij me helpen????

Edwin Schäperclaus
29-12-2003

Antwoord

Hoi,

Een paar tips moeten je op weg helpen:

a) Je hebt een cirkel met midden m en straal r=10cm. Je tekent met dit midden m n cirkels met straal r_i=r.i/n met i=1..n. De afstand tussen 2 opeenvolgende cirkels is Dr=r/n. De oppervlakte tussen deze opeenvolgende cirkels kan je benaderen door DS_n,i=2p.r_i.Dr=2p.r.i/n.r/n. De oppervlakte van de cirkel benaderen we dan S_n=sum(DS_n,i:i=1..n)=2pr²/n².sum(i:i=1..n)=2pr²/n².n.(n+1)/2=p.r².(n+1)/n. Voor n®¥ komen de cirkels steeds dichter bij elkaar en benadert S_n de oppervlakte van de cirkel steeds beter: lim(S_n,n®¥)=p.r².

b) Uit de vergelijking van de cirkel haal je de vergelijking van de bovenste boog: y=Ö(r²-x²). We bekijken het stuk in het eerste kwadrant en stellen dus een Riemann-som op voor 1/4 van de oppervlakte van de cirkel. Het interval [0,r] delen we ook hier weer in stukjes door de punten r_i=r.i/n met i=1..n. Boven het interval [r_i,r_i+1] staat er stuk van de cirkel waarvan we de oppervlakte benaderen door een rechthoekje met hoogte y_i=Ö(r²-r_i²). De oppervlakte van dit rechthoekje is DS_n,i=(r_i+1-r_i).Ö(r²-r_i²)=r/n.Ö(r²-(r.i/n)²)=r²/n.Ö(1-(i/n)²). Het hele cirkelkwart benaderen we dan met S_n=sum(DS_n,i:i=1..n)=r²/n.sum(Ö(1-(i/n)²),i:i=1..n). We moeten dus enkel nog bewijzen dat sum(Ö(1-(i/n)²):i=1..n)/n®p/4 wanneer n®¥. Maar eigenlijk was het voldoende de sommen op te stellen... Als je die limiet ook moet bewijzen, stuur je maar een reactie.

Groetjes,
Johan

andros
30-12-2003