WisFaq!

Een handelaar in nieuwe en tweede hands auto`s

Een handelaar in nieuwe en tweede hands auto's heeft ontdekt dat de mate waarin de inruilwaarde van een auto verandert recht evenredig is met de inruilwaarde op een bepaald moment en omgekeerd evenredig is met de leeftijd van de auto op datzelfde moment plus een constante. Van een veelgevraagd type wordt de mate waarin de inruilwaarde in de tijd verandert gegeven door de volgende differentiaalvergelijking.
dp(t) / dt = (-4p(t)) / (22+t)
hierin is t de leeftijd van de auto gemeten in jaren en p(t) is de inruilwaarde van de auto uitgedrukt in guldens als deze t jaar oud is. De nieuwprijs van het desbetreffende type is 20000gld.

bepaal de inruilwaarde van de auto als functie van de leeftijd van de auto.

Ik weet dat het antwoord moet zijn:
p(t)= 20000((22)/(t+22))^4
maar hoe ik daar precies kom is de grote vraag voor mij.

En nog een vraag uit deze opgave die ik niet snapte was: na hoeveel jaren moet iemand zijn auto inruilen als hij er nog 10000gld voor terug wil krijgen?
Het antwoord hierop is na 4 jaar.... maar hoe kom je daar aan?

marjolein
9-12-2003

Antwoord

dp/dt = -4p/(22+t)

Deze differentiaalvergelijking is scheidbaar

dp/p = -4dt/(22+t)

Linkerlid integreren tussen p0 en p, rechterlid tussen t0 en t.

ln(p)-ln(p0) = -4ln(t+22)+4ln(t0+22)
ln(p/p0) = 4ln((t0+22)/(t+22))
ln(p/p0) = ln(((t0+22)/(t+22)⁴)
p/p0 = ((t0+22)/(t+22))⁴
p = p0((t0+22)/(t+22))⁴

of, met t0=0 en p0=20000,

p = 20000(22/(t+22))⁴

Voor welke t is p(t)=10000?

10000 = 20000.(22/(t+22))⁴
1/2 = (22/(t+22))⁴
(1/2)^(1/4) = 22/(t+22)
t+22 = 22.2^(1/4)
t = 22 (2^(1/4)-1)

t = 4.16...

cl
9-12-2003