WisFaq!

Minimale oppervlakte van een literblik

Gegeven: een cilindervormig conservenblik met een inhoud van 1 liter. Zoek uit bij welke diameter en hoogte een minimale hoeveelheid blik nodig is. Zou u me kunnen helpen?

Imp
20-7-2001

Antwoord

Eerst maar eens een formule voor de inhoud van een cilinder:

• $
  inhoud = \pi \cdot r^2 \cdot h
  $

Bij een inhoud van 1 dm³ geeft dat:

• $
  \eqalign{\pi \cdot r^2 \cdot h = 1 \Rightarrow h = \frac{1}
  {{\pi \cdot r^2 }}}
  $

Nu de formule voor de oppervlakte (inclusief bodem en deksel):

• $
  oppervlakte = 2 \cdot \pi \cdot r \cdot h + 2 \cdot \pi \cdot r^2
  $

Vul $
\eqalign{h = \frac{1}
{{\pi \cdot r^2 }}}
$ in de bij de formule voor de oppervlakte:

• $
  \eqalign{
  & oppervlakte = 2 \cdot \pi \cdot r \cdot h + 2 \cdot \pi \cdot r^2 \cr
  & oppervlakte = 2 \cdot \pi \cdot r \cdot \frac{1}
  {{\pi \cdot r^2 }} + 2 \cdot \pi \cdot r^2 \cr
  & oppervlakte = \frac{2}
  {r} + 2 \cdot \pi \cdot r^2 \cr}
  $

Dan bereken je de afgeleide:

• $
  [oppervlakte]^{\,|} = - \frac{2}
  {{r^2 }} + 4 \cdot \pi \cdot r
  $

Stel de afgeleide op nul en los op:

• $
  \eqalign{
  & - \frac{2}
  {{r^2 }} + 4 \cdot \pi \cdot r = 0 \cr
  & - 2 + 4 \cdot \pi \cdot r^3 = 0 \cr
  & 4 \cdot \pi \cdot r^3 = 2 \cr
  & r^3 = \frac{1}
  {{2\pi }} \cr
  & r = \root 3 \of {\frac{1}
  {{2\pi }}} \cr
  & r \approx {\text{0}}{\text{,541925}} \cr}
  $

Even een tekenverloop tekenen... om te controleren dat het hier inderdaad een minimum betreft...

h is dan ongeveer 1,08385 dm

De inhoud is 1 dm³ en de oppervlakte is ongeveer 5,536 dm²

WvR
20-7-2001