WisFaq!

Complexe hyperbolische functies

Hoe bewijs je dat cosh(ix)=cos(x)? Ik kan beginnen maar ik zit vast als ik moet bewijzen dat e^(-ix)=cos(x)-isin(x) Hoe bewijs je dit?

Bert Goossens
18-11-2003

Antwoord

Hangt er een klein beetje vanaf wat je als definitie en wat je als eigenschap bekijkt. Bijvoorbeeld: als je sin(x) en cos(x) definieert als

cos(x) = (1/2)(exp(ix)+exp(-ix))
sin(x) = (1/2i)(exp(ix)-exp(-ix))

dan volgt exp(-ix)=cos(x)-isin(x) uit het oplossen van bovenstaand 2x2 stelsel in de onbekenden exp(ix) en exp(-ix). Als je natuurlijk al weet dat exp(iy)=cos(y)+isin(y), dan volgt wat je vraagt natuurlijk gewoon uit het y=-x stellen. Volstaat dat?

cl
19-11-2003