WisFaq!

Surjectief/injectief

Ik zoek een antwoord op de volgende vraag: Bestaat er een functie die wel injectief is, maar NIET surjectief, waarvoor de inverse functie bestaat? Zo ja, geef een voorbeeld.

Volgens sommige bronnen op het internet bestaat de inverse functie a.s.a de functie injectief én surjectief( dus bijectief) is, volgens mijn prof is een nodige en voldoende voorwaarde dat de functie injectief is.

Lynn
22-10-2003

Antwoord

De exponentiële functie is injectief maar niet surjectief.
Het def(a^.)=$\mathbf{R}$ en Im(a^.)=$\mathbf{R}$⁺₀. (a een strikt positief reëel getal verschillend van 1)
Dus a^x$>$0 voor elke x $\in$$\mathbf{R}$.

De inverse functie is de logaritmische functie met grondtal a: y=a^x $\Leftrightarrow$ x = log_a(y)

Wie heeft er gelijk? eigenlijk beide.
De inverse functie bestaat pas als de functie zowel injectief is als surjectief, waarbij je enkel kijkt naar het definitie gebied en waardeverzameling en niet naar $\mathbf{R}$.
Dus: a^.:$\mathbf{R}\to\mathbf{R}$⁺₀:x$\to$a^x
en de inverse functie
(a^.)^-1=log_a(.):$\mathbf{R}$⁺₀$\to\mathbf{R}$:x$\to$log_ax
Als we deze functies beschouwen dan zijn ze beide zowel injectief als surjectief.

Dus injectief zijn is in dus voldoende. Het is ook nodig want bijvoorbeeld y=x² $\Leftrightarrow$ x=±√x
Met één y-waarde corresponderen dus twee x'en. De inverse functie bestaat dus niet omdat je niet eenduidig kan vastleggen welke x je nu met welke y moet laten corresponderen.
Maar je kan die functie wel in twee stukken trekken nl:
f₁:$\mathbf{R}$⁺$\to\mathbf{R}$⁺:x$\to$x² heeft als inverse f₁^-1:$\mathbf{R}$⁺$\to\mathbf{R}$⁺:x$\to$√x
en
f₂:$\mathbf{R}$^-$\to\mathbf{R}$⁺:x$\to$x² heeft als inverse f₂^-1:$\mathbf{R}$⁺$\to\mathbf{R}$^-:x$\to$-√x

Besluit: De inverse functie bestaat als je functie, beperkt tot zijn definitiegebied, zowel injectief is als surjectief, of als je de functie bekijkt t.o.v. $\mathbf{R}$ als ze injectief is.

Els
22-10-2003