WisFaq!

De negenproef

Hoe bewijs je op welke manier de negenproef werkt??

Ik denk dat het iets te maken moet hebben met de kenmerken van de deelbaarheid door 9, maar hoe bewijs je dan dat de negenproef ervoor zorgt de uitkomst wel degelijk juist is?

inge
26-9-2003

Antwoord

Hoi,

Je kan best eens zoeken op 'negenproef'...

Samengevat komt het hierop neer.

Met r=a(mod b) noteren we dat r de rest is van a bij gehele deling door b. Dit betekent dat er een q bestaat zodat a=b.q+r. In de getallenleer bewijst men dat er zo precies één q en r bestaan met 0$\leq$r$<$b. Bijvoorbeeld: 3=17(mod 7) want 17=7·2+3. Dit is de basis van modulo-rekenen.

Met deze modulo-notatie kunnen we de bewerkingen optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en (geheel) delen eens bekijken: x+y, x-y, x.y en x=y.k+s (x,y,k en s zijn gehele getallen).

We bekijken alles modulo m en noteren:
r_x=x (mod m), r_y=y (mod m), r_k=k (mod m), r_s=s (mod m)
Deze r-waarden zijn dus telkens de resten bij deling door m.
Je kan makkelijk inzien dat:
r_x+r_y = x+y (mod m)
r_x-r_y = x-y (mod m)
r_x.r_y = x.y (mod m)
x=y.k+s $\Rightarrow$ r_x=r_y.r_k+r_s

Een voorbeeldje: 3=17 (mod 7) en 5=12 (mod 7) dus moet 3+5=17+12 (mod 7) of 8=29 (mod 7) en inderdaad 1=8 (mod 7) en 1=29 (mod 7). Praktisch zal jij 17+12=29 uitrekenen en checken dat 3+5=8=1 inderdaad de rest is van 29 bij deling door 7. Als dit niet zo is, dan heb je ergens een fout. Als dit wel zo is, dan heb je een geruststelling, maar geen absolute zekerheid dat je antwoord juist is (als je bijvoorbeeld 17+12=36 zou uitkomen, dan zou de test modulo 7 inderdaad 1 geven voor 36 en voor 3+5; de fout merk je dan niet op).

De negenproef is zo geliefd omdat het makkelijk is om van een gegeven getal (in decimale notatie) de rest bij deling door 9 uit te rekenen. Wanneer s(n) de som van de cijfers van n voorstelt, dan bewijs je makkelijk dat n=s(n) (mod 9). (het bewijs hiervan vind je wel ergens op deze site).

Concreet zal je dus voor de klassieke bewerkingen nagaan of er een verband klopt tussen de resten bij deling door 9. Die resten bereken je door de cijfers op te tellen. Als dit verband gerespecteerd is, heb je een redelijke geruststelling - maar geen zekerheid - dat je resultaat correct is.

Je kan zelf makkelijk bijkomende testen bedenken modulo 2 of 5 bijvoorbeeld.

Groetjes,
Johan

andros
26-9-2003