WisFaq!

Goldbach

Hallo,

A: Elk even getal 6 kan ook worden gezien als de som van
twee verschillende priemgetallen.

B: Elk priem getal 3 is het "gemiddelde" van twee verschillende priemgetallen. (vb. (17+5)/2 = 11)

C: Elk even getal ongelijk twee kan worden geschreven door
twee priemgetallen (mogelijk gelijke priemgetallen.

Bewijs: A- B /\ C (d.m.v. Inductie)

Roedi
14-9-2003

Antwoord

Hoi,

Deze vraag lijkt erg op Goldbach Variant, met dat verschil dat je het hier met inductie moet bewijzen en niet met contradictie.

Voor B is de basisstap: p=5 en p=(7+3)/2, dus B geldt. In de inductiestap veronderstellen we dat B geldt voor alle priemgetallen tot een zekere waarde q. Het eerst volgende priemgetal pq zal 3 zijn, zodat 2p6. Volgens A kunnen we 2p schrijven als: 2p=p₁+p₂, zodat p=(p₁+p₂)/2 met p₁ en p₂ priemgetallen. Hiermee is B bewezen uit A.

De basisstap bij C is 2k=4 en hiervoor geldt inderdaad 4=2+2 met 2 priem. 2k=6 moeten we ook apart behandelen omdat A hier niet van toepassing is: 6=3+3 met 3 priem. Voor 2k6 veronderstellen we dat C bewezen is voor k-waarden tot een zekere waarde m. Volgens A vinden we 2 priemgetallen p₁ en p₂ (die zelfs verschillend zijn, maar dat doet er niet toe) zodat 2(m+1)=p₁+p₂. C is dus ook bewezen door A te gebruiken.

Groetjes,
Johan

andros
18-9-2003