Voor het beantwoorden van uw vraag wil ik eerst vermelden dat bij het opstellen van een Jordan-normaalvorm kennis van vectorruimten, lineaire afbeeldingen, kern, eigenwaarden, eigenvectoren, eigenruimten, diagonaliseerbaarheid, etc... vereist is. Beschik je niet over die kennis dan raad ik je aan eerst notie te nemen van de gegeven begrippen.
Als een lineaire operator niet diagonaliseerbaar is kan men hem altijd tot een Jordan-normaalvorm herleiden. Een Jordan-normaalvorm bestaat uit Jordan-blokken die op hun beurt bestaan uit subblokken. Beschouw de lineaire operator met matrixvoorstelling over
:| A= |
bereken zijn eigenwaarden met bijhorende algebraïsche multipliciteit.
Dit geeft:
l=2 s2=5
2 is dus een 5-voudige eigenwaarde.
Bereken de dimensie van de eigenruimte E2 bij l
Dit is dus dim(ker(A-2*I5))
(I5 is de 5x5 eenheidsmatrix)
| A-2*I5= |
Dus ker(A-2*I5) voldoet aan de volgende voorwaarde:
x2+x3+x5=0
x3+x4+x5=0
Dit geeft een stelsel van rang 2 en orde 5 dus E2 is 3-dimensionaal.
Hieruit volgt dan A niet diagonaliseerbaar is en aangezien A slechts 1 eigenwaarde heeft is er slechts 1 Jordan-blok. Echter met 3 subblokken (= dim E2).
Een subblok ziet er als volgt uit:
We berekenen de grootte van de subblokken. Dit is een vrij ingewikkelde procedure als je ze voor de eerste keer uitvoert. Let dus goed op! Hieronder staan twee regels. De bovenste regel geeft telkens ker((A-2*I5)i) aan. Op de tweede regel staat telkens de dimensie van die kern. We gaan door tot de dimensie gelijk wordt aan de algebraïsche multipliciteit van l. Het zijn die dimensies die we nodig hebben om de grootte van de subblokken te berekeken:
Nu moeten we wat doen met die dimensies. We beginnen langs achter en trekken telkens de twee laatste dimensies van elkaar af:
5-4=1
4-3=1
3-0=3
Deze laatste getallen schrijven we onder elkaar. Dan "turven" we deze getallen. Dit wil zeggen dat we er streepjes naast zetten in overeenstemming met de grootte van het getal. Daarna tellen we de streepjes verticaal op. Kijk:
(het is toeval dat in dit voorbeeld na turving dezelfde getallen optreden)
3,1,1 zijn de respectievelijke groottes van de subblokken. De Jordan-normaalvorm van A is bijgevolg:
Koen Mahieu
km
13-9-2003