WisFaq!

Vijf ballen verdelen over 500 kopjes!?

Hey,

Ik kwam laatst deze puzzel op internet tegen, en ik ben heel benieuwd naar hoe ik 'm kan oplossen.. Volgens mij heeft het te maken met faculteit en andere statistische berekeningen.. kan u mij helpen? Ik ben net klaar met havo 5, dus ik weet een boel van wiskunde B, vooral formules, weinig kansberekening.. Dus als u graag in die taal wilt spreken, bedankt :)

Je hebt 5 ballen die je moet verdelen over een aantal kopjes, op iedere mogelijke manier.

1 kopje:
---
|5|
-----
1 mogelijkheid
totaal 1 mogelijkheid

2 kopjes:
-----
|1|4|
-----
|2|3|
-----
|3|2|
-----
|1|4|
-----
|5|0|
-----
|0|5|
-----
6 mogelijkheden
totaal 7 mogelijkheden

3 kopjes:

21 mogelijkheden
totaal 28 mogelijkheden

Ga door met dit totdat je 500 kopjes hebt. Het totaal aantal mogelijkheden van 1 tot 500 is het goede antwoord.

-Daan

Daan Lambermont
8-7-2003

Antwoord

Hallo Daan,

Eerst even de algemene oplossing om vijf ballen te verdelen over n kopjes. Stel dat je die kopjes voorstelt als vakken, met telkens een tussenschot aangeduid als I
Bijvoorbeeld als je 7 kopjes hebt en 5 ballen ( o ):
oIIIoIIooIo
betekent: één bal in het eerste kopje, één in het vierde, twee in het zesde en één in het zevende.

Hoeveel mogelijkheden zijn er hiervoor? Wel, n-1 tussenschotten en 5 ballen zijn samen n+4 eenheden, dat geeft (n+4)! mogelijkheden, te delen door 5! en door (n-1)! omdat het niks uitmaakt als je twee o-tekens verwisselt, of als je twee I-tekens verwisselt. Dit geeft inderdaad jouw oplossingen voor n=1,2,3.

Nu moet je nog sommeren: ^(n+4)!/_{5! (n-1)!} voor elke waarde n tussen 1 en 500...
n=1 : 5!/0!5!
n=2 : 6!/1!5!
n=3 : 7!/2!5!
...
n=500 : 504!/499!5!

Hoe tel je dit samen?
1+6+21+56+126+...
Zoals bijna alles wat met faculteiten en combinaties te maken heeft, vind je dit terug in de driehoek van Pascal, namelijk (als je de driehoek in de klassieke piramidevorm noteert) op een diagonaal van linksboven naar rechtsonder: 1, 6, 21, 56, 126,... Op de diagonaal daar vlak onder vind je de getallen 1, 7, 28, 84, dus exact de deelresultaten die je in je vraag gaf. Het is het 500ste getal in deze rij dat je nodig hebt. Dat heeft de vorm ^(500+5)!/_{6! (500-1)!} (want 1, 7, 28, 84 hebben ook die vorm maar dan met 1,2,3,4 in plaats van 500). Dit is dus de oplossing, expliciet:
505·504·503·502·501·500 / 6·5·4·3·2·1
= 22 359 848 185 500.

Groeten,
Christophe.

Christophe
8-7-2003