WisFaq!

Vergezochte vragen

wat gaat volgen zijn de vragen die ik op mijn examen van wiskunde kreeg dit jaar
welnu, ik heb er geen één kunnen oplossen
nogtans ken ik alle regels en het principe van integreren
ik denk gewoon dat deze oefeningen iets te ver zijn gezocht

ondertussen heb ik ook al mijn uitslag voor dat examen gekregen en zo
maar ik moet tegen volgende dinsdag ingangsexamen voor arts-tandarts afleggen
en daar zijn ook integralen bij
dus als jullie mij zouden willen helpen met het oplossen van deze oefeningen

gewoon een tip is waarschijnlijk genoeg
vb 'partiele integratie' of zo met nog wat uitleg

in elk geval
hartelijk bedankt

$\int{}$ ( 3x + √Bgsin x) ) / ( √1-x²) ) dx

$\int{}$ sin⁴ x dx

$\int{}$ ( 3x³ + 2x +1 ) / ( x⁴ -8x) dx

$\int{}$ ( ln (x+1) ) / ( √x+1) ) dx

$\int{}$ e^x sin x dx -$>$ dit is een bepaalde integraal van 0 tot + $\infty$;

do vi
28-6-2003

Antwoord

Hallo Dorien,

Die eerste: splits de teller op zodat je twee integralen krijgt. In de eerste (dus 3x/√(1-x²) moet je dan proberen je teller, dus 3xdx, te schrijven als d(1-x²). Dit lukt op een constante na. Op die manier krijg je dus du/√u met u = 1-x². Het tweede deel, dus met die Bgsin, moet je oplossen met de substitutie x = sint. Dat je die substitutie moet gebruiken is logisch: anders krijg je nooit die lastige Bgsin weg...

De tweede: schrijf als sin²x sin²x, en vervang één van de twee door 1-cos²x. Dan krijg je een sin²x en een sin²xcos²x. In die tweede herken je een dubbelehoekformule, die eerste is op te lossen met partiële integratie.

De derde: rationale functies moet je altijd met partieelbreuken te lijf gaan. Hier kan je de noemer ontbinden: x(x³-8) = x (x-2) (x²+2x+4) want x³-8 is van de vorm a³-b³. Dan moet je het integrandum alleen nog schrijven als A/x + B/(x-2) + (Cx+D)/(x²+2x+4).

Next: ik neem aan dat die wortel over heel de (x+1) staat. Noem dan x+1 = u, dan heb je lnu/√u du. Tip: als je een ln in de teller hebt staan, is er veel kans dat je met partiële integratie kan werken, want als je die afleidt wordt dat simpelweg 1/u. Hier moet je je du/√u schrijven als d(iets), en dan partiële integratie.

De laatste: dat is een klassieker. De truc is dat je e^xdx schrijft als d(e^x) en partiële integratie toepast. Zo wordt die sin een cos. Daarna moet je nog eens hetzelfde doen, en wordt die cos weer een sin. Op die manier krijg je (als je de gevraagde integraal I noemt): I = (twee termen) - I, waaruit je I kan halen. En het feit dat het een bepaalde integraal is, betekent gewoon dat je de grenzen moet invullen.

Voilà, veel succes met je ingangsexamen!
Groeten,
Christophe.

Christophe
28-6-2003