WisFaq!

\require{AMSmath} geprint op maandag 29 april 2024

Excentriciteit van de ellips

bewijs dat als e= d(v(is een punt van de ellips),f(brandpunt dus))/d(v,F(richtlijn)) dat e dan = c/a

ik begrijp dus niet hoe ik dit moet bewijzen, vermits ik niet weet welke coördinaten ik moet invullen bij alle punten en dus niet weet hoe ik van d(v,f)/d(v,F) tot c/a geraak

ik hoop dat u iets snapt van mijn vraag, ik snap alleszins niet hoe ik het moet oplossen

Sandra Coussement
27-5-2003

Antwoord

Als je uitgaat van de ellips x2/a2 + y2/b2 = 1 en als a2 - b2 = c2, dan liggen de brandpunten in (c,0) en (-c,0) en de richtlijnen hebben de vergelijking x = a2/c resp. x = -a2/c
Neem nu een willekeurig punt (x,y) op de ellips en bepaal dan de afstand d tussen dit punt en (c,0)
Voor die afstand geldt: d2 = (x - c)2 + y2 en voor de afstand f tot het andere brandpunt geldt is f2 = (x + c)2 + y2

Aftrekking geeft f2 - d2 = 4cx en omdat per definitie geldt dat f + d = 2a volgt hier uit dat f - d = 2cx/a
(Gebruik dat f2 - d2 = (f - d)(f + d))
Uit f + d = 2a en f - d = 2cx/a volgt d = a - (cx)/a en f = a + (cx)/a

De afstand van (x,y) tot de richtlijn x = a2/c is gelijk aan a2/c - x .

Uit (c/a).(a2/c - x) = a - (cx)/a zie je nu hetgeen je vraagt.

MBL
27-5-2003


© 2001-2024 WisFaq
WisFaq - de digitale vraagbaak voor het wiskunde onderwijs - http://www.wisfaq.nl

#11749 - Bewijzen - 3de graad ASO