WisFaq!

Moeilijk bewijs!!!

In een gelijkbenige riehoek ABC zijn de deellijnen van de basishoeken A en B doorgetrokken tot ze de omschreven cirkel snijden in D en E. Deze deellijnen snijden elkaar in P.
Bewijs nu dat de vierhoek CDPE een ruit is.
Hoeveel zijden van de vijfhoek ABCDE zijn er even lang? Hoe groot moet tophoek C zijn, opdat alle zijden even lang zouden zijn?

eva
26-5-2003

Antwoord

Eerst en vooral: Een ruit is een vierhoek met loodrechte diagonalen die elkaar middendoor snijden.

Op het volgende cabri-werkblad zie je configuratie van de stelling. De punten A B en C kan je bewegen.

Applet werkt niet meer.
Download het bestand.

door de symmetrie van het probleem staan de diagonalen van de geconstrueerde vierhoek al loodrecht op elkaar. Tevens om symmetrieredenen is |DQ| = |QE|.
Het enige wat nu nog te bewijzen is: |CQ|=|QP|
Dat zou ik proberen te bewijzen aan de hand van coordinaten. Prik een assenstelsel met de oorsprong in O op de figuur, de X-as volgens de basis van de driehoek en de Y-as loodrecht daarop. Geef A de coordinaten (1,0), B (-1,0) en C (0,h). Zo heb je een willekeurige gelijkbenige driehoek gedefinieerd. Bepaal de coordinaten van C, P en Q en controleer hun afstand met de afstandsformule.
Dit bewijs kan op bepaalde punten vrij gecompliceerd worden. Misschien is er wel een makkelijker manier. Maar ik zie ze niet.

De zijden van de vijfhoek:

Dat |AD|=|BE| en |DC|=|EC| volgt uit symmetrie.

Je kan aantonen dat |AD|=|DC| door aan te tonen dat de deellijn en de middelloodlijn op de zijde AC elkaar snijden op de omgeschreven cirkel. Immers, de middelloodlijn op een zijde gaat steeds door het middelpunt van de omgeschreven cirkel. Er wordt dus bijgevolg een gelijkbenige driehoek gevonden (ADC).

Bij welke tophoek zijn alle zijden van de vijhoek gelijk:
Dit is een eenvoudig eigenschapje van de hoeken in een gelijkzijdige vijfhoek. Daar zijn de hoeken tussen de diagonalen dia allen vanuit één hoekpunt vertrekken gelijk. Als je weet dat je alles samen aan 540° moet komen kan dat enkel als zo één hoekje 36° is. 'Zo' een hoekje is ook de tophoek.

Hopelijk heb ik je een beetje geholpen.

Koen Mahieu

km
26-5-2003