De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

home |  vandaag |  gisteren |  bijzonder |  prikbord |  gastenboek |  wie is wie? |  contact

HOME

samengevat
vragen bekijken
een vraag stellen
hulpjes
zoeken
FAQ's
links
twitter
boeken
help

inloggen

colofon

  \require{AMSmath}

Een familie van functies

Opgave

Gegeven zijn de functies fc(x)=x3+3cx.

  1. Voor welke waarden van c heeft de grafiek van zo'n functie drie nulpunten?
  2. Voor welke waarde van c heeft fc een extremum van 4?
  3. Voor welke waarden van c raakt de grafiek van fc de lijn y=6x?
  4. Voor welke waarden van c heeft de lijn met vergelijking y=x precies één punt met de grafiek van fc gemeen?

Uitwerking

  1. Stel f(x)=0

    $
    \begin{array}{l}
     x^3  + 3cx = 0 \\
     x(x^2  + 3c) = 0 \\
     x = 0 \vee x^2  + 3c = 0 \\
     x = 0 \vee x^2  =  - 3c \\
     x = 0 \vee x =  - \sqrt { - 3c}  \vee x = \sqrt { - 3c}  \\
     \end{array}
    $
    De wortel van -3c bestaat alleen als -3c$\ge$0, dus c$\le$0. In het geval dat c=0 heb je dan maar 2 oplossingen. Als c$<$0 dan heb je drie oplossingen.
    $ $
  2. Bepaal de afgeleide.

    $
    \begin{array}{l}
     \left. \begin{array}{l}
     f'_c (x) = 3x^2  + 3c \\
     f'_c (x) = 0 \\
     \end{array} \right\} \Rightarrow  \\
     3x^2  + 3c = 0 \\
     3x^2  =  - 3c \\
     x^2  =  - c \\
     x =  - \sqrt { - c}  \vee x = \sqrt { - c}  \\
     f( - \sqrt { - c} ) = 2\sqrt { - c^3 } \,\,en\,\,f(\sqrt { - c} ) =  - 2\sqrt { - c^3 }  \\ 
     2\sqrt { - c^3 }  = 4 \\
     c =  - \sqrt[3]{4} \\
     \end{array}

    $ $
  3. De richtingscoëfficiënt van de raaklijn is 6. De afgeleide is dus 6.

    $
    \begin{array}{l}
     \left. \begin{array}{l}
     f'_c (x) = 3x^2  + 3c \\
     f'_c (x) = 6 \\
     \end{array} \right\} \Rightarrow  \\
     3x^2  + 3c = 6 \\
     x =  - \sqrt {2 - c}  \vee x = \sqrt {2 - c}  \\
     \end{array}
    $
    Maar 't is een raaklijn dus één oplossing als c=2.
    $ $
  4. Als je $y=x^{3}+3cx$ snijdt met $y=x$ dan krijg je:
    $
    x^3  + 3cx = x
    $
    Oplossen geeft:
    $
    x = 0 \vee x =  - \sqrt {1 - 3c}  \vee x = \sqrt {1 - 3c}
    $
    Je hebt dan 1 oplossing voor $1-3c<0$ oftewel: $c>\frac{1}{3}$


klein |  normaal |  groot

home |  vandaag |  bijzonder |  twitter |  gastenboek |  wie is wie? |  colofon

©2001-2017 WisFaq - versie IIb

eXTReMe Tracker