De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

home |  vandaag |  gisteren |  bijzonder |  prikbord |  gastenboek |  wie is wie? |  contact

HOME

samengevat
vragen bekijken
een vraag stellen
hulpjes
zoeken
FAQ's
links
twitter
boeken
help

inloggen

colofon

  \require{AMSmath}

Een praktische tip

Bij samengestelde functies waarbij je partieel wilt integreren is het altijd even de vraag welke functie je nu moet nemen...

Voorbeeld

Gevraagd: $
\int {x^2  \cdot \ln (x)\,\,dx}
$

Nu zijn er twee mogelijkheden...

Algemeen

$
\int {f(x)g'(x)\,dx = f(x) \cdot g(x) - \int {g(x) \cdot f'(x)\,dx} }
$

Wat moet je nu voor $f$ en $g$ kiezen?

Poging 1

Neem f(x)=x en g'(x)=ln(x). Je krijgt dan:

$
\int {x^2  \cdot \ln (x)\,\,dx}  = x^2 \left( {x\ln (x) - x} \right) - \int {\left( {x\ln (x) - x} \right) \cdot 2x} \,dx
$

Maar of dat gaat werken? Ik denk 't niet...

Poging 2

Neem f(x)=ln(x) en g'(x)=x. Je krijgt dan:

$
\eqalign{
  & \int {x^2  \cdot \ln (x)\,\,dx}  = \ln (x) \cdot \frac{1}
{3}x^3  - \int {\frac{1}
{3}x^3  \cdot \frac{1}
{x}} \,dx  \cr
  & \int {x^2  \cdot \ln (x)\,\,dx}  = \ln (x) \cdot \frac{1}
{3}x^3  - \int {\frac{1}
{3}x^2 } dx  \cr
  & \int {x^2  \cdot \ln (x)\,\,dx}  = \ln (x) \cdot \frac{1}
{3}x^3  - \frac{1}
{9}x^3  \cr}
$

Dat ziet er beter uit...

Strategie

In dit geval was het handig om voor $f$ de functie te nemen waarvan de afgeleide eenvoudiger wordt. In 't algemeen zijn $e^{x}$ of $ln(x)$ geschikte kandidaten.


klein |  normaal |  groot

home |  vandaag |  bijzonder |  twitter |  gastenboek |  wie is wie? |  colofon

©2001-2017 WisFaq - versie IIb

eXTReMe Tracker