De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

home |  vandaag |  gisteren |  bijzonder |  prikbord |  gastenboek |  wie is wie? |  contact

HOME

samengevat
vragen bekijken
een vraag stellen
hulpjes
zoeken
FAQ's
links
twitter
boeken
help

inloggen

colofon

  \require{AMSmath}

3. Partieel integreren

Deze methode is†afgeleid van de productregel.

Stelling
Als f en g differentieerbaar zijn dan is:

$
\int {f(x)g'\left( x \right)} \,dx = f\left( x \right) \cdot g(x) - \int {g(x) \cdot f'(x)\,dx}
$

Ook wel:

$
\int {f(x)dg(x) = f\left( x \right)g(x) - \int {g(x)df\left( x \right)} }
$

Voorbeeld 1

$
\int {x \cdot \ln (x)\,dx = \int {\ln (x) \cdot x\,\,dx = \ln (x) \cdot \frac{1}
{2}} } x^2† - \int {\frac{1}
{2}} x^2† \cdot \frac{1}
{x}\,dx = \frac{1}
{2}x^2 \ln (x) - \frac{1}
{4}x^2
$

Voorbeeld 2

$
\int {x \cdot e^x } dx = x \cdot e^x† - \int {e^x† \cdot 1\,dx = x \cdot e^x }† - e^x† = (x - 1) \cdot e^x
$

Voorbeeld 3

$
\int {x^2† \cdot e^x } dx = x^2† \cdot e^x† - \int {e^x† \cdot 2x\,dx}
$

Voor dit laatste geldt:

$
\eqalign{
† & \int {e^x† \cdot 2x\,dx}† = 2x \cdot e^x† - \int {e^x }† \cdot 2\,dx = 2x \cdot e^x† - 2e^x†† \cr}
$

Dus:

$
\int {x^2† \cdot e^x } dx = x^2† \cdot e^x† - \left( {2x \cdot e^x† - 2e^x } \right) = \left( {x^2† - 2x + 2} \right) \cdot e^x
$

Voorbeeld 4

$
\int {\ln (x)\,dx = \int {\ln (x)} }† \cdot 1\,dx = \ln (x) \cdot x - \int {x \cdot \frac{1}
{x}} \,dx = x\ln (x) - \int {1\,dx = x\ln (x) - x}
$†

Voorbeeld 5

$
\eqalign{
† & \int {\frac{{\ln \left( x \right)}}
{{x^2 }}} dx = \int {\ln \left( x \right)}† \cdot \frac{1}
{{x^2 }}dx = \ln \left( x \right) \cdot \frac{{ - 1}}
{x} - \int {\frac{{ - 1}}
{x} \cdot \frac{1}
{x}} dx =† - \frac{{\ln \left( x \right)}}
{x} - \frac{1}
{x} + C† \cr
† & \int\limits_{x = 1}^e {\frac{{\ln \left( x \right)}}
{{x^2 }}} dx = \left[ { - \frac{{\ln \left( x \right)}}
{x} - \frac{1}
{x}} \right]_1^e† =† - \frac{{\ln \left( e \right)}}
{e} - \frac{1}
{e} - \left( { - \frac{{\ln \left( 1 \right)}}
{1} - \frac{1}
{1}} \right) =† - \frac{2}
{e} + 1 = \frac{{e - 2}}
{e} \cr}
$

Voorbeeld 6

$
\int {\sin (x) \cdot e^x } dx = \sin (x) \cdot e^x† - \int {e^x† \cdot \cos (x)\,dx}
$

Dat schiet niet op?

$
\int {e^x† \cdot \cos (x)\,dx}† = \cos (x) \cdot e^x† - \int {e^x† \cdot† - \sin (x)\,dx = } \cos (x) \cdot e^x† + \int {e^x† \cdot \sin (x)} \,dx
$

Lekker...:-)

$
\int {\sin (x) \cdot e^x } dx = \sin (x) \cdot e^x† - \cos (x) \cdot e^x† - \int {e^x† \cdot \sin (x)} \,dx
$

Alhoewel:

$
\eqalign{
† & 2 \cdot \int {\sin (x) \cdot e^x } dx = \sin (x) \cdot e^x† - \cos (x) \cdot e^x†† \cr
† & \int {\sin (x) \cdot e^x } dx = \frac{1}
{2}e^x \left( {\sin (x) - \cos (x)} \right) \cr}
$

F.A.Q.


klein |  normaal |  groot

home |  vandaag |  bijzonder |  twitter |  gastenboek |  wie is wie? |  colofon

©2001-2017 WisFaq - versie IIb

eXTReMe Tracker