Vraag
Gevraagd: $
\int {\sqrt x } \cdot \ln (x)\,\,dx
$
Uitwerking
We gaan partieel integreren.
Stelling
Als f en g differentieerbaar zijn dan is:
$
\int {f(x)g'(x)\,dx = f(x) \cdot g(x) - \int {g(x) \cdot f'(x)\,dx} }
$
Wat moet je nu voor $f$ en $g$ kiezen?
Neem:
$
\eqalign{
& f(x) = \ln (x) \cr
& f'(x) = \frac{1}
{x} \cr
& g'(x) = \sqrt x \cr
& g(x) = \frac{2}
{3}\sqrt {x^3 } \cr}
$
Je krijgt dan:
$
\eqalign{
& \int {\sqrt x } \cdot \ln (x)\,\,dx = \cr
& \ln (x) \cdot \frac{2}
{3}\sqrt {x^3 } - \int {\frac{2}
{3}\sqrt {x^3 } \cdot \frac{1}
{x}\,\,dx} = \cr
& \frac{2}
{3}\sqrt {x^3 } \cdot \ln (x) - \int {\frac{2}
{3}\sqrt x \,\,dx} = \cr
& \frac{2}
{3}\sqrt {x^3 } \cdot \ln (x) - \frac{4}
{9}\sqrt {x^3 } \cr}
$
