De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

home |  vandaag |  gisteren |  bijzonder |  prikbord |  gastenboek |  wie is wie? |  contact

HOME

samengevat
vragen bekijken
een vraag stellen
hulpjes
zoeken
FAQ's
links
twitter
boeken
help

inloggen

colofon

  \require{AMSmath}


Effectiviteit van verpakkingen

Weer zo'n leuk vraagje op WisFaq:
  • 'Is er geen formule te bedenken voor de effectiviteit van verpakkingen?'
Je moetkijken naar de verhouding van oppervlakte en inhoud.Een voorbeeld:
Een kubus van 10 bij 10 bij 10 cm heeft een oppervlakte van 600 cm2 en een inhoud van 1000 cm3. Maar wat is nu de verhouding tussen inhoud en oppervlakte? Je kunt moeilijk appels met peren gaan vergelijken. Ik had als afmetingen ook 1 bij 1 bij 1 dm kunnen nemen en dan krijg je toch een heel ander verhaal terwijl in werkelijkheid de verpakking even effectief is.
Ditgaat over het maken van een formule voor de effectiviteit van verpakkingen.

Minimaal en maximaal

Hoe zit dat nou? Eigenlijk zou je moeten kijken hoe je met een bepaalde oppervlakte een minimale en een maximale inhoud kan maken. De minimale inhoud is makkelijk, die is gewoon nul. Je kunt het 'ding' gewoon plat slaan. De maximale inhoud krijg je ja als je een bol maakt. Dat laatste is in feite de 'sleutel' tot de oplossing van dit probleem.

Nemen we een nog een keer de kubus van 1 bij 1 bij 1 dm. De maximale inhoud die je zou kunnen maken is door het maken van een bol met een oppervlakte van 6 dm2. Hiervoor heb je formule voor de oppervlakte van een bol nodig:

Oppervlakte bol = 4$\pi$r2

$
\eqalign{
& 4\pi r^2 = 6 \cr
& r^2 = \frac{6}
{{4\pi }} \cr
& r = \sqrt {\frac{6}
{{4\pi }}} \approx 0,691 \cr}
$

...en wat zou de inhoud van deze bol zijn?

Hiervoor hebben de formule voor de inhoud van een bol nodig:

Inhoud bol = 4/3$\pi$r3

Invullen levert:

$
\frac{4}
{3}\pi \left( {\sqrt {\frac{6}
{{4\pi }}} } \right)^3 \approx 1,382
$

De inhoud van de kubus is 1 dm3, terwijl als de kubus een bol zou zijn geweest zou de inhoud ongeveer 1,382 dm3 zijn geweest. Dus zeggen we dat de effectiviteit van de kubus gelijk is aan (1:1,382)100%72,4%

Het algemene geval

Eigenlijk hebben we met de laatste berekening al de formule te pakken. Want wat staat er nu eigenlijk? Er staat iets als:
De effectiviteit van een verpakking = _________Inhoud__________
Inhoud als het een bol zou zijn
100 %

Hierbij is de 'Inhoud als het een bol zou zijn' gelijk aan $
\frac{4}
{3}\pi \left( {\sqrt {\frac{{oppervlakte}}
{{4\pi }}} } \right)^3
$

Effectiviteit van een verpakking =$
\large \frac{{inhoud}}
{{\frac{4}
{3}\pi\left({\sqrt{\frac{{oppervlakte}}
{{4\pi }}}}\right)^3}}$$100\%
$

Deze laatste formule laat zich vereenvoudigen tot:

$
Effectiviteit = \Large\frac{{6\sqrt \pi \times inhoud}}{{\sqrt {oppervlakte^3 } }}$$100\%
$

Voorbeelden

lichaam

oppervlakte

inhoud

effectiviteit

kubus van 1x1x1

6

1

72,4%

balk van 1x2x3

22

6

61,8%

bol met straal 2

50,3

33,5

100%

kegel met straal 2 en hoogte 6(1)

52,3

25,1

70,7%

gelijkzijdige piramide met zijde 3 en hoogte 7(1)

52,0

21,0

59,6%

cilinder met straal 2 en hoogte 4(2)

75,4

50,3

81,6%

(1): inclusief grondvlak
(2): inclusief boven- en grondvlak

Klik HIER voor een Excelblad.


klein |  normaal |  groot

home |  vandaag |  bijzonder |  twitter |  gastenboek |  wie is wie? |  colofon

©2001-2017 WisFaq - versie IIb

eXTReMe Tracker