De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

home |  vandaag |  gisteren |  bijzonder |  prikbord |  gastenboek |  wie is wie? |  contact

HOME

samengevat
vragen bekijken
een vraag stellen
hulpjes
zoeken
FAQ's
links
twitter
boeken
help

inloggen

colofon

  \require{AMSmath}


2. Substitutiemethode

Deze methode is afgeleid van de kettingregel.

Stelling
Als F een primitieve is van f op (a,b) en g:(c,d)$\to$(a,b) differentieerbaar is op (c,d) met afgeleide g', dan is:
$\int{}$f(g(x))·g'(x)dx=F(g(x))+K op (c,d)

Ook wel: $\int{}$f(g(x))dg(x)=F(g(x))+K op (c,d)

Toepassing
We zoeken $\int{}$h(x)dx

  1. Schrijf h(x) in de vorm: h(x)=f(g(x))·g'(x)
  2. Bepaal de primitieve F(x) van f(x)
Dan geldt: $\int{}$h(x)dx=F(g(x))+K

We noteren:
$\int{}$h(x)dx=$\int{}$f(g(x))g'(x)dx=$\int{}$f(g(x))dg(x)=$\int{}$f(t)dt=F(t)+K=F(g(x))+K (t=g(x))
We hebben dus g(x)=t gesteld, vandaar de naam substitutiemethode.

Voorbeeld 1

$
\eqalign{
  & \int {x(5 + x^2 )^3 dx = }   \cr
  & Schijf\,\,h(x)\,\,als\,\,f(g(x) \cdot g'(x))  \cr
  & \int {\frac{{\text{1}}}
{{\text{2}}}{\text{(5 + x}}^{\text{2}} {\text{)}}^{\text{3}}  \cdot 2x} \,dx = \int {\frac{{\text{1}}}
{{\text{2}}}{\text{(5 + x}}^{\text{2}} {\text{)}}^{\text{3}} \,d\left( {{\text{5 + x}}^{\text{2}} } \right)}  =   \cr
  & Neem\,\,t = 5 + x^2   \cr
  & \int {\frac{1}
{2}t^3 } dt = \frac{1}
{8}t^4  + C =   \cr
  & Neem\,\,t = 5 + x^2   \cr
  & \frac{1}
{8}\left( {{\text{5 + x}}^{\text{2}} } \right)^4  + C \cr}
$

Voorbeeld 2

$
\eqalign{
  & \int {\frac{t}
{{1 + t^2 }}} \,dt = \int {\frac{1}
{2}}  \cdot \frac{1}
{{1 + t^2 }} \cdot 2t\,dt = \int {\frac{1}
{2} \cdot \frac{1}
{{1 + t^2 }}} \,d(1 + t^2 )  \cr
  & Neem\,\,u = 1 + t^2 :  \cr
  & \int {\frac{1}
{2}}  \cdot \frac{1}
{u}\,du = \frac{1}
{2}\ln (u) + C = \frac{1}
{2}\ln (1 + t^2 ) + C \cr}
$

Voorbeeld 3

$
\int {\sin (x) \cdot \cos (x)\,dx = \int {\sin (x)\,d(\sin (x)) = \int {t\,dt = \frac{1}
{2}} } } t^2  + C = \frac{1}
{2}\sin ^2 (x) + C
$

Voorbeeld 4

$
\int {\frac{{\ln (x)}}
{x}} \,dx = \int {\ln (x) \cdot \frac{1}
{x}} \,dx = \int {\ln (x)\,d(\ln (x)) = \int {t\,dt = \frac{1}
{2}} } t^2  + C = \frac{1}
{2}(\ln (x))^2  + C
$


klein |  normaal |  groot

home |  vandaag |  bijzonder |  twitter |  gastenboek |  wie is wie? |  colofon

©2001-2018 WisFaq - versie IIb

eXTReMe Tracker